Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions dans
ces trois domaines de la science. Surnommé le prince des mathématiciens, il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
On a vu dans Le nombre premier 97 que Gauss a été le premier à étudier la congruence sur les entiers en 1801 et a ainsi été le père de l'
arithmétique modulaire discipline essentielle aussi bien dans la théorie des nombres que dans l'arithmétique de l'horloge ou dans le calcul des clés des RIB ou du numéro INSEE...
A côté des trois classiques principes variationnels (Principe de Fermat en optique géométrique, principe de Maupertuis et principe de moindre
action de Lagrange et Euler en mécanique analytique), le principe de moindre contrainte de Gauss exprimé en 1829 est moins connu.
La résolution des équations associées à un principe variationnel se ramène en général à la recherche de géodésiques dans un espace approprié (espace des états du système considéré, espace des phases), ces géodésiques étant les extrémales d'une certaine intégrale; c'est le cas des trois principes rappelés plus haut.
Le principe de moindre contrainte (on dit aussi des moindres contraintes) de Gauss est en fait une réinterprétation du principe des travaux virtuels de d'Alembert et il est basé sur la notion de contrainte; il est particulièrement adapté au cas de contraintes non holonomes (*) (voir l'exemple plus bas) et comme le principe de d'Alembert, il ne concerne que les sytèmes formés d'un nombre fini de points matériels. On peut dire que 'philosophiquement' il s'agit du principe
du moindre effort, c'est-à-dire d'un principe de minimisation (de l'optimisation qui minimise); il exprime le fait que la nature, le plus souvent, minimise ses efforts ...
Ce principe concerne un système S formé d'un nombre fini de n points matériels soumis à des liaisons parfaites quelconques (holonomes ou non holonomes *) et à des forces quelconques (dérivant ou non d'une fonction de forces); la position de S dépend
donc de 3n paramètres.
Notons R(t) le rayon vecteur qui caractérise la position d'une particule de S à l'instant t; à l'instant t + dt nous aurons
R(t+dt) = R(t) + V(t) dt + 1/2 A(t) dt2 + ...
où V et A sont la vitesse et l'accélération de la particule à l'instant t.
Pour R(t) et V(t)donnés, une variation de A conduira à une variation de R(t+dt).
Si notre particule est soumise à des forces données de résultante F et à des forces de liaison de résultante L, on pourra encore écrire pour le mouvement réel correspondant
R(t+dt) = R(t) + V(t)dt + 1/2m (F + L) dt2 + ...
Considérons maintenant l'ensemble (W) des mouvements virtuels que l'on peut obtenir en supposant que le système ait, à l'instant t, mêmes positions et mêmes vitesses que dans le mouvement réel,
et que toutes les liaisons soient respectées, seules les accélérations étant quelconques. Une telle situation où les variables du problème sont les accélérations se retrouve
dans le formalisme d'Appell qui se développe à partir de l'énergie d'accélération (comme les équations de Lagrange à partir de l'énergie cinétique). Pour de tels mouvements virtuels, nous aurons, en négligeant les termes en dt*n, n>2:
δR(t+dt*) = 1/2 δA(t) dt*2, t* désignant le temps virtuel.
On peut encore dire que pour toute durée virtuelle arbitrairement petite notée τ nous avons:
δR(t+τ) = 1/2 δA(t) τ2, à 0(τ3) près.
Ces considérations sont totalement indépendantes des liaisons ou 'contraintes' de S qui n'interviennent que dans le choix possible des δA: les δR(t+τ)sont compatibles avec les liaisons à l'instant t (par définition des éléments de (W)).
Comme dans le cadre de l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange (voir un exemple), les forces de liaison qui maintiennent le système S, dans tout mouvement virtuel qui les respectent, telles qu'elles existent à l'instant t considéré, ont un travail nul. Pour de tels
mouvements virtuels compatibles, le principe des travaux virtuels de d'Alembert donne (les Ai étant les accélérations réelles à l'instant t):
∑i=1n (Fi - mi Ai) δRi = 0
les δRi étant des déplacements quelconques mais compatibles avec les liaisons données à l'instant t.
On peut encore appliquer ce principe à des δR(t+τ) compatibles, et donc il vient
∑i=1n (Fi - mi Ai) δAi = 0
soit encore, les Fi étant donnés et donc ne variant pas:
∑i=1n (Fi - mi Ai) 1/mi δ(Fi - mi Ai) = 0
Si nous définissons maintenant G comme la contrainte du système au sens de Gauss:
G = ∑i=1n 1/2mi (Fi - mi Ai)2 = ∑i=1n 1/2mi (Li)2
on obtient
δG =0,
qui assure la stationnarité de G.
Comme en outre, en négligeant les variations d'ordre 2 des accélérations, on obtient δ2 G = ∑i mi (δAi)2 > 0, la valeur stationnaire de G est un minimum strict. On peut donc énoncer le résultat de Gauss.
Théorème de la moindre contrainte de Gauss. Le mouvement réel est tel que, sous des conditions cinématiques données (Ri et Vi à l'instant t), la contrainte G est la plus petite possible. Les variables dans la variation étant les accélérations Ai, le
mouvement réel minimise G.
En particulier si les particules du système sont libres de toute liaison, la contrainte G atteint effectivement son minimum absolu, G = 0, et nous retrouvons la classique loi fondamentale de la dynamique
pour un système sans liaison:
Fi = mi Ai.
Le principe de moindre contrainte de Gauss est donc un véritable principe de minimum, comparable au principe de moindre action, mais plus simple car il ne demande pas l'utilisation d'une intégrale d'action. En revanche, l'ennui est la nécessité du calcul des accélérations au lieu des vitesses
dans le principe de Maupertuis, ceci n'étant pas tout à fait compensé par le fait qu'il peut être formulé avec des liaisons holonomes ou non. Dans le cas particulier où les forces données Fi sont nulles, on peut donner une interprétation géométrique de ce principe: G y
joue le rôle d'une courbure géodésique dans l'espace de configuration E3n muni des coordonnées cartésiennes √mi xi, √mi yi, √mi zi, i=1,2, ...,n; le point M de E3n
décrit dans un certain sous-espace (déterminé par les liaisons) de E3n, une courbe de courbure minimum (disons 'aussi droite que possible'). De telles courbes de moindre courbure sont des lignes géodésiques de la variété (courbe) de configuration plongée dans l'espace plat E3n. Exemple
Considérons le cas d'une particule de masse m astreinte, sous l'action d'une liaison parfaite, à rester sur une surface d'équation z = f(x, y) et soumise par ailleurs à une force donnée F: déterminer les équations de son mouvement.
Notons Q = 2mG la quantité à minimiser (x¨= d2x/dt2, y¨= d2y/dt2, z¨= d2z/dt2)
Q = (F1-mx¨)2 + (F2-my¨)2 + (F3-mz¨)2 sachant que z = f(x, y)
Les variables indépendantes étant x¨ et y¨, il faut assurer
∂Q/∂x¨ = 0, ∂Q/∂y¨ = 0
Comme z¨= ∂f/∂x x¨+ ∂f/∂y y¨ + ∂2f/∂x2 x¨2 + ..., il vient ∂z¨/∂x¨= ∂f/∂x, ∂z¨/∂y¨= ∂f/∂y et donc:
mx¨ = F1 + (F3 - mz¨)∂f/∂x,
my¨ = F2 + (F3 - mz¨)∂f/∂y, avec z = f(x, y).
Ces dernières équations définissent le mouvement de notre particule sous l'action de la force donnée F et d'une liaison parfaite qui la maintient sur la surface z = f(x, y).
On obtiendrait le même résultat en utilisant la méthode des équations de Lagrange avec multiplicateurs (le multiplicateur de Lagrange serait ici mz¨ - F3).
(*)-Une liaison holonome est représentée par des équations algébriques qui ne dépendent que des variables de position du système et du temps. Une liaison
non holonome n'a pas cette propriété et nécessite au moins une dépendance par rapport à certaines vitesses du système.
Exemple traité avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
L'énergie cinétique E du système vérifie: 2E = m (x'2 + y'2 + z'2), z = f(x, y) fournit z'* - ∂f/∂x x'* - ∂f/∂y y'* qui sera associé au multiplicateur λ.
La puissance virtuelle est donc P* = (F3 + λ) z'* + (F2 - λ ∂f/∂y) y'* + (F1 - λ ∂f/∂x) x'*,
d'où les équations:
m x¨ = F1 - λ∂f/∂x, m y¨ = F2 - λ∂f/∂y, m z¨= F3 + λ ,
c'est-à-dire que nous retrouvons bien les résultats établis plus haut:
m x¨ = F1 +(F3 - m z¨)∂f/∂x, m y¨ = F2 +(F3 - m z¨)∂f/∂y, avec z = f(x, y).
