RELATIVITE GENERALE
Le père de la Relativité, Albert Einstein (1879-1955) a publié la théorie de la Relativité restreinte en 1905 et la théorie de la Relativité générale en 1915; il a obtenu le prix Nobel de physique en 1921 pour son explication de l’effet photoélectrique.
Pour le centenaire de l'extraordinaire année 1905, l'année 2005 a été choisie par l' UNESCO, l' ONU et l' Union Internationale de la Physique Pure et Appliquée comme Année mondiale de la Physique; dans le cadre de cette année de la Physique, la célèbre formule E=mc² a parfaitement été vérifiée le 30/12/2005 par le test le plus précis jamais réalisé auparavant. Il y a tout juste vingt ans grâce au télescope Canada-France-Hawaii, l'observation de galaxies en forme d'arcs au centre des amas de galaxies les plus massifs mettait en évidence le phénomène de lentille gravitationnelle. Ce phénomène est une conséquence directe de la théorie de la Relativité générale d'Einstein qui prédit que la présence importante de masse déforme localement l'espace-temps et il a permis de détecter quelques exoplanètes (citons par exemple la première planète découverte par un effet de lentille gravitationnelle en avril 2004 et la découverte d'une nouvelle classe de lentilles gravitationnelles en 2006) et récemment en janvier 2010 une très ancienne petite galaxie (existant alors que l'univers n'avait qu'environ 1, 5 milliards d'années). Il n'est pas nécessaire de poursuivre pour être largement convaincu de l'importance énorme des théories relativistes et pour justifier quelque peu ces pages sur la Relativité générale.
Nous proposons ici, de manière assez élémentaire et sans trop de détails, quelques notions essentielles de la Relativité générale en supposant connues celles de la Mécanique classique et de la Relativité restreinte, dont les plus importantes seront cependant succinctement rappelées pour que ce fichier soit tout de même directement abordable.
I-Quelques rappels sur les postulats de base de la Mécanique classique et de la Relativité restreinte
III-Principe de Relativité générale
IV-Connexion riemannienne de V 4
V-Tenseur de Riemann-Christoffel, ou tenseur de courbure de V 4
VITenseur de Ricci de Γ sur V 4 (Remarque et digression sur la constante cosmologique)
VII-Géodésiques
IX-Equations des géodésiques et équations newtoniennes du mouvement
XI-Problème de l'inertie: conceptions de Mach
(voir les notations utilisées pour les vecteurs, la convention de sommation d'Einstein et éventuellement un cours de calcul tensoriel classique)
La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation qui tient compte des principes de la relativité restreinte; elle améliore la théorie de la gravitation universelle de Newton, qui en représente la limite pour des vitesses faibles comparées à la vitesse c de la lumière.
On sait que le cadre géométrique de la Relativité restreinte est constitué par un espace improprement euclidien, l'espace - temps de Minkowski M 4 de métrique à signature hyperbolique normale (+ - - -) qui s'écrit, en coordonnées galiléennes réduites (x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z), ds 2 = c 2 dt 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 , c'est-à-dire encore ds 2 = η αβ dx α dy β (α, β = 0, 1, 2, 3) où η αβ représente le tenseur métrique de Minkowski, et en coordonnées quelconques ds 2 = g αβ dx α dy β où, pour tout point p de M 4 , le tenseur métrique a pour composantes (g αβ ) p = (e α ) p . (e β ) p , les (e α ) p étant les vecteurs de base du repère naturel en p, (e α ) p = ∂ p / ∂ x α et définissant l'espace (fibré) tangent à M 4 en p.
Grâce à cet espace M 4 , on peut par exemple réunir en un même champ de tenseurs les classiques vecteurs de R 3 champ électrique E et champ magnétique H qui sont alors définis par certaines composantes du tenseur champ électromagnétique F αβ de M 4 : E i = F i0 , H i = 1/2 ε ijk F jk , i, j, k = 1, 2, 3.
Nous savons que le principe de Relativité restreinte (qui ne fait qu'étendre à tous les phénomènes la validité du principe d'inertie de Newton) exprime que les lois de la nature sont invariantes sous les transformations de Lorentz, c'est-à-dire encore ont une forme indépendante du référentiel galiléen choisi. Observons bien que ce principe est limité à une certaine classe de repères privilégiés:les repères galiléens (appelés aussi repères inertiels).
Une question peut se poser dès maintenant: quelle est l'origine des propriétés privilégiées des repères galiléens? Newton pensait qu'il s'agissait des propriétés intrinsèques de l'univers. G. Berkeley (1685-1753) et surtout E. Mach (1838-1916), qu' Albert Einstein désigna comme un "précurseur de la théorie de la Relativité", proposent un point de vue radicalement différent: ces propriétés privilégiées des repères galiléens proviennent de la distribution de toutes les masses de l'univers.
D'où le résultat énoncé par Einstein: les phénomènes physiques peuvent être étudiés avec n'importe quel repérage, chaque repérage possède des propriétés spatio - temporelles propres déterminées par les masses de l'univers.
Nous verrons plus loin que le principe de Relativité générale supprime le privilège des repères galiléens et qu'en outre, la théorie de la Relativité générale confirme certaines idées de Mach sur l'inertie des corps (principe de Mach).
I - Quelques rappels sur les postulats de base de la Mécanique classique et de la Relativité restreinte
En Mécanique classique on postule l'existence d'un temps absolu et d'un espace absolu indépendants de l'observateur, du référentiel et des corps qui s'y trouvent.
En Relativité restreinte, il existe un temps pour chaque repère (ou encore le temps s'écoule différemment dans divers référentiels) et il n'existe pas de repère idéalement fixe, tous les corps de l'univers étant mobiles les uns par rapport aux autres; on ne peut plus parler d' "espace en soi" mais seulement d'espace de référence correspondant à tel ou tel corps considéré (ceci sera important en Relativité générale).
Citons Einstein: on peut en juxtaposant à un corps A des corps B, C, .. former de nouveaux corps, c'est-à-dire "prolonger" le corps A; et l'on peut prolonger A d'une façon telle qu'il entre en contact avec tout autre corps X. L'ensemble des prolongements de A peut être considéré comme l'espace du corps A; tous les corps sont donc dans l'espace de A (arbitrairement choisi). En ce sens on ne peut parler de l'espace en soi mais simplement de l'espace correspondant au corps A ou espace de référence.
II - Principe de l'équivalence
En Mécanique classique les forces d'inertie sont des forces qui peuvent être supprimées par un certain choix du système de référence, puisqu'elles n'apparaissent que dans des repères non galiléens (ou accélérés). On suppose donc implicitement qu'il est toujours possible de distinguer les forces réelles des forces fictives. Pour Newton, il y a toujours mouvement absolu: mouvement absolu de la matière dans le cas des forces réelles, mouvement absolu du référentiel dans le cas des forces fictives.
En réalité, il n'en est rien comme l'a montré Einstein, on ne peut pas toujours distinguer les forces de gravitation des forces fictives.
Comme les forces fictives, les forces de gravitation donnent à une masse d'épreuve une accélération indépendante de sa masse: m Γ e ou m Γ c pour les forces fictives d'entraînement et de Coriolis, m g ou M g pour la gravitation (dite universelle: tous les corps 'tombent' de la même façon, indépendamment de leur masse ou de leur composition chimique), alors que pour une force donnée F, on aura m Γ = (m/2) (2 Γ) par exemple.
En outre, dans une région limitée de l'espace, on peut aussi éliminer les forces de gravitation par changement de repère de référence. C'est le cas pour la chute libre d'un point matériel M dans un ascenseur A (ou un quelconque satellite) lui-même en chute libre dans le vide: M est immobile par rapport à A et il y a donc élimination locale des forces de gravitation. Si A est soumis à une accélération γ > g, M sera collé au plafond de A et si γ < g, il sera collé au plancher de A.
Ainsi le choix d'un système de référence accéléré, c'est-à-dire l'apparition de forces fictives, modifie et éventuellement supprime les effets de la pesanteur pour un observateur lié à ce système. Ou encore, une quelconque expérience réalisée à l'intérieur d'un système accéléré ne peut déceler son mouvement puisqu'il est équivalent de considérer ce système non accéléré et de modifier la valeur de la pesanteur.
| Principe de l'équivalence. Localement, un champ de gravitation est équivalent au champ de forces créé par un mouvement accéléré (champ d'inertie). Aucune expérience locale ne peut permettre la distinction entre ces deux champs. |
On parle encore d'équivalence de la masse grave (ou masse pesante qui intervient dans la force de gravitation ou d'attraction de Newton) et de la masse inerte (qui intervient dans le principe fondamental de la dynamique, F = m a).
(Dans une région assez grande de l'espace, pour un champ de gravitation, il y a convergence des lignes de force d'où des difficultés pour le supprimer totalement)
On a donc ici une équivalence entre systèmes de référence accélérés, d'où une certaine "relativité" de l'accélération de même que les transformations de Galilée conduisent à une équivalence entre repères galiléens, d'où une certaine "relativité" de la vitesse.
III - Principe de Relativité générale
La théorie de la Relativité restreinte est insuffisante pour décrire les phénomènes gravifiques, en particulier les systèmes de référence accélérés (en rapport avec un champ gravifique d'après le principe précédent) ne sont pas concernés par les transformations de Lorentz.
Le principe de Relativité générale va supprimer le privilège des référentiels galiléens et surtout va aussi concerner les référentiels accélérés.
| Principe de Relativité générale. Les lois de la nature sont covariantes sous des transformations continues des coordonnées, c'est-à-dire ont une forme invariante par rapport à toute transformation continue des coordonnées. |
En réalité, ce principe introduit aussi une classe de repères privilégiés, les repères einsteiniens, mais beaucoup plus vaste que celle des galiléens, qu'elle contient bien sûr. Ces repères sont riemanniens et satisfont aux équations de la gravitation d'Einstein, plus exactement c'est par rapport à de tels repères que les équations des géodésiques et les équations d'Einstein sont valables.
NB- On passera techniquement d'un repère galiléen (avec des coordonnées notées X α ) à un repère einsteinien (avec des coordonnées notées x σ) par des transformations continues de la forme X α = X α ( x σ ).
Le cadre géométrique de la R.G. (qui permettra la description de la gravitation) sera constitué par un espace pseudo - riemannien V 4 et les composantes g αβ de son tenseur métrique représenteront les potentiels de gravitation. V 4 est en outre une variété différentiable (espace topologique connexe dont chaque point possède un voisinage homéomorphe - bijection continue - à la boule euclidienne de dimension 4).
Rappel. Pour un vecteur A = A α e α = A α ε α on passera de ses composants contravariantes à ses composantes covariantes par les classiques relations A α = g αμ A μ et A α = g αμ A μ où les g αμ sont définis à partir des g αμ par g αμ g μβ = δ α β . Toutes les montées et descentes d'indice se font de cette manière pour tout tenseur.
Le cône élémentaire réel (ou cône de lumière) en M(x α ) de V 4 étant défini par ds 2 = 0, on dira, par définition que:
le vecteur dx est orienté dans le temps (ou du genre temps) si g αβ dx α dx β > 0,
le vecteur dx est orienté dans l'espace (ou du genre espace) si g αβ dx α dx β < 0,
le vecteur dx est isotrope si g αβ dx α dx β = 0.
On rappelle enfin que sur l'espace vectoriel tangent en M à V 4 , T M (V 4 ), la métrique ds 2 de V 4 induit une structure d'espace de Minkowski (pseudo - euclidien); on sait en effet que l'espace tangent d'un espace riemannien est un espace euclidien ou encore qu'un espace riemannien est localement euclidien.
| Sur un espace euclidien, on peut toujours définir un système orthonormé par rapport auquel on peut rapporter globalement tout l'espace, c'est-à-dire que pour tout (y α ) il existe toujours des (x α ) tels que g αβ (y) = ∂ x μ / ∂ y α ∂ x ν / ∂ y β η μν (x) ; en revanche il n'en est pas de même pour un espace riemannien et l'on est donc obligé d'utiliser un système de coordonnées curvilignes (on ne peut que rapporter localement une portion d'un espace riemannien suivant un système orthonormé). |
IV - Connexion riemannienne de V 4
Pour comparer des tenseurs attachés à des points différents de V 4 , c'est-à-dire rapportés à des repères différents, il convient d'étudier comment varie le repère naturel quand on passe d'un point M (y α ) à un point infiniment voisin M'(y α + dy α ); le repère naturel associé en M (y α ) constitué par les (e α ) M ,α = 0, 1, 2, 3, avec (e α ) M = ∂ M / ∂ y α , définit l'espace (euclidien) tangent T (M) en M à V 4 . Pour un point infiniment voisin M'(y α + dy α ) de V 4 , les (e' α ) M' définissent l'espace tangent T (M'). C'est la connexion affine de V 4 qui fait le raccord entre ces deux espaces tangents et permet d'exprimer la position M' et les (e' α ) M' dans l'espace tangent T(M); pour cela, on fait correspondre au point M' de V 4 un point M + dM de l'espace tangent T(M) et aux vecteurs e' α des vecteurs e α + de α :
dM = e α dy α , de α = ω α μ e μ , où les ω α μ sont des fonctions linéaires des dy α, ω α μ = Γ αρ μ dy ρ et donc:
|
(1) de α = Γ αρ μ dy ρ e μ |
Les coefficients Γ αρ μ qui déterminent la transformation des e' α dans le repère naturel formé en M par les e α définissent la connexion affine de la variété V 4 . On montre facilement que Γ αβ μ = Γ βα μ (puisque e α = ∂ α M et ∂ β e α = ∂ 2 βα M = ∂ α e β ) et il y a donc ici 40 coefficients pour cette connexion Γ.
| Théorème de Ricci. Γ est solution du système ∇ ρ g αβ = 0. |
En effet: (g αβ ) M = (e α ) M . (e β ) M et donc
d g αβ = de α . e β + e α . de β = Γ αρ μ dy ρ e μ . e β + e α . Γ βρ μ dy ρ e μ = g μβ Γ αρ μ dy ρ + g αμ Γ βρ μ dy ρ, ce qui traduit encore les équations aux connexions de la Relativité générale:
| (2) ∇ ρ g αβ ≡ ∂ ρ g αβ - Γ αρ μ g μβ - Γ βρ μ g αμ = 0 |
Le symbole ∇ (nabla) est associé à la notion de différentielle absolue et les ∇ ρ g αβ représentent ici les composantes de la dérivation covariante des g αβ .
Pour des g αβ donnés, (2) représente un système de 40 équations à 40 inconnues Γ βγ α dont la solution est
| (3) Γ βν α = 1/2 g αμ (∂ β g νμ + ∂ ν g μβ -∂ μ g βν ) |
(3) représente la connexion riemannienne de V 4 et les Γ βν α sont encore appelés les symboles de Christoffel.
Propriété. Une connexion n'est pas un tenseur et se transforme suivant la loi
Γ β'μ' α' (y α' ) = A α'τ A ρ β' A σ μ' Γ ρσ τ (x α ) + A α'τ ∂ β' A τ μ' , avec
A α'τ = ∂ y α' / ∂ x τ , A ρ β' = ∂ x ρ / ∂ y β' , ∂ β' = ∂ / ∂ y β' .
Seul le dernier terme étant indépendant de la connexion, il en résulte que tout coefficient d'une connexion Γ est la somme d'un coefficient d'une autre connexion L et d'une composante tensorielle, ce qui peut encore se traduire avec un léger abus de langage par: la différence de deux quelconques connexions est toujours un tenseur ( Γ βν α - L βν α = T βν α tensoriel).
V - Tenseur de Riemann - Christoffel, ou tenseur de courbure de V 4
Pour un quelconque vecteur de V 4 on peut montrer que
(∇ α ∇ β - ∇ β ∇ α) A μ = R τ μαβ A τ ,
(∇ α ∇ β - ∇ β ∇ α) A μ = - R μ ταβ A τ ,
(et formules analogues pour toute composante tensorielle) où
| (4) R μ ταβ = ∂ β Γ τα μ - ∂ α Γ τβ μ + Γ τα λ Γ λβ μ - Γ τβ λ Γ λα μ |
représente le tenseur de courbure (ou de Riemann - Christoffel) de la variété V 4 .
Propriétés. Pour un espace euclidien (M 4 par exemple), le tenseur de courbure est nul; on sait en effet qu'il existe alors toujours un repère tel que g αβ = η αβ (= constantes) et par suite tous les coefficients Γ τα μ (η) sont nuls. On peut aussi commuter les dérivations covariantes (∇ α ∇ β = ∇ β ∇ α ) puisque dans ce cas ∇ α = ∂ α . En outre un vecteur déplacé parallèlement le long d'un contour fermé ne subit aucune modification: on dit qu'un tel espace n'est pas courbé ou qu'il est plat.
Un espace euclidien est à courbure nulle, un espace à courbure nulle est au moins localement euclidien.
Le tenseur de courbure R ne comporte pas 256 composantes indépendantes car il vérifie les propriétés suivantes (faciles à vérifier sur R νταβ = g νμ R μ ταβ ):
R νταβ = R αβντ R νταβ = - R τναβ (d'où aussi R νταβ = - R ντβα )
|
R vérifie aussi les identités de Bianchi : Σ ταβ R νταβ = 0 , Σ ωαβ ∇ ω R νταβ = 0 (avec permutation circulaire sur les indices de Σ ) |
On montre ainsi que R possède 20 composantes indépendantes.
VI - Tenseur de Ricci de Γ sur V 4
Le tenseur de Ricci de V 4 est défini par
(5) R αβ = R μ αμβ ;
c'est le seul tenseur du second ordre non nul déduit du tenseur de Riemann par contraction propre (puisque R μ αβμ = - R αβ et R μ μαβ = 0).
Le tenseur de Ricci est symétrique et s'explicite en
| (6) R αβ = ∂ β Γ αμ μ - ∂ μ Γ αβ μ + Γ αμ λ Γ λβ μ - Γ αβ λ Γ λμ μ |
On appelle courbure totale de V 4 le 0 - tenseur (ou scalaire)
(7) R = g αβ R αβ
On appelle tenseur d'Einstein, le tenseur symétrique
(8) S αβ = R αβ - 1/2 R g αβ
Remarque et digression sur la constante cosmologique.
En réalité on pourrait encore poser
S αβ = R αβ - 1/2 (R + k) g αβ ,
où k est une constante cosmologique qui ne joue pas de rôle dans les problèmes proprement astronomiques ...et seulement en cosmologie. Cette constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en 1917 à ses équations de la Relativité générale de 1915, dans le but de rendre sa théorie compatible avec l'idée qu'il avait (comme le pensait aussi Newton) d'un univers statique (on l'appelle encore univers d'Einstein) et non pas en expansion. La découverte de l'expansion de l'univers en 1929 par E. Hubble (les nébuleuses s'éloignent de nous d'autant plus vite qu'elles se trouvent loin, ou encore - loi de Hubble - les galaxies s'éloignent les unes des autres à une vitesse proportionnelle à leur distance, la constante de proportionnalité étant la constante de Hubble) a provoqué l'abandon de l'hypothèse de la constante cosmologique et Einstein lui-même parlait de "la plus grande erreur de sa vie". Un temps abandonnée, cette constante cosmologique a été remise au goût du jour dans les années 1990 après la découverte de l'accélération de l'expansion de l'univers (grâce aux observations de supernovae lointaines). Elle décrirait une force répulsive (de multiples observations récentes montrent que la gravitation à l'échelle de l'univers n'est pas attractive mais répulsive!), encore hypothétique, qui accélèrerait l'expansion de l'univers, appelée énergie sombre ou énergie noire (à ne pas confondre avec la matière noire ou masse manquante de l'univers) et correspondrait peut-être à l'énergie du vide, mais celle-ci semble trop forte ....y-aurait-il alors une cinquième forme de matière (en dehors des baryons, photons, neutrinos et matière noire) ? (voir par exemple énergie noire: quelles stratégies pour la communauté française? ou que cache la constante cosmologique?). Bref l'histoire de la constante cosmologique d'Einstein est loin d'être terminée!
| Théorème. Le tenseur d'Einstein est conservatif pour la dérivation covariante associée à la connexion riemannienne de V 4 : ∇ α S α β = 0 . |
(Ce résultat est valable aussi si l'on tient compte de la constante cosmologique k). En effet, d'après les identités de Bianchi:
∇ ω R ν ταβ + ∇ α R ν τβω + ∇ β R ν τωα = 0, puis par contraction (ν = α)
∇ ω R τβ + ∇ α R α τβω - ∇ β R τω = 0, et par contraction avec g τω
∇ ω R ω β + ∇ α R αω βω - ∇ β R = 0, mais
∇ α R αω βω = ∇ α R ωα ωβ = ∇ α R ω αωβ = ∇ α R αβ = ∇ α R α β et donc
∇ α R α β - 1/2 ∇ β R = 0, soit ∇ α S α β = 0 (avec classiquement S α β = R α β - 1/2 δ α β R).
Etant donnée la variété V 4 rapportée à des coordonnées quelconques (y α), on appelle vecteur vitesse unitaire d'univers d'un point M (y α) le vecteur u α = dy α /ds (où ds 2 = g αβ dx α dy β). C'est encore le vecteur tangent à la courbe d'univers C décrite par le point M (y α). On appelle vecteur accélération d'univers de M, le vecteur dérivée absolue de u α(M):
γ α = ∇u α /ds (soit encore γ α = du α /ds + Γ βσ α u β u σ ). On peut encore écrire
γ α = dy σ /ds ∇ σ u α = u σ ∇ σ u α ,
(10) γ α = u σ ∇ σ u α
Propriétés.
u α u α = +1 et u α est donc du genre temps (facile avec les définitions de ds 2 et u α ) ;
u α γ α = 0 (utiliser le résultat précédent et observer que u α ∇ σ u α = u α ∇ σ u α grâce au théorème de Ricci).
Définition. Si l'accélération d'univers de M est nulle, sa trajectoire d'univers C est dite une géodésique de V 4 d'équations: (11) u σ ∇ σ u α = 0 (ou ∇u α /ds = 0), ou encore (quel que soit le paramètre s utilisé) (12) d 2 y α /ds 2 + Γ βσ α dy β/ds d y σ/ds = 0 |
Remarque. Les équations (11) montrent encore que le vecteur u reste équipollent à lui-même quand on passe d'un point de C à un point infiniment voisin; ces équations caractérisent encore les courbes autoparallèles (∇ u u = 0). Les géodésiques constituent donc l'extension en géométrie riemannienne des droites de l'espace euclidien. En effet sur un espace euclidien, g αβ = η αβ et (12) se réduit à du α/ds = 0 (soit du 0/ds = 0, du i/ds = 0, i = 1, 2, 3), or nous savons que u i = v i /c√1 - β 2 et u 0 = 1/√1 - β 2 , avec v i = dy i /dt vitesse classique sur R 3 et β = v/c; il vient avec ds = c √1 - β 2 dt, u 0 = constante et du i/ds = (1/c 2 (1 - b 2 )) dv i /dt = 0 soit v i = constante (ou y i = v i 0 t + y i 0).
Les géodésiques de V 4 sont aussi les extrémales de l'intégrale ∫ A B ds qui exprime la longueur d'un arc de courbe joignant deux points de V 4 (il suffit d'écrie les équations d'Euler - Lagrange pour l'intégrale ∫ A B √g αβ dy α/dt dy β/dt dt).
VIII - Principe des géodésiques
En Mécanique classique, un point matériel libre est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme par rapport à tout repère galiléen.
En Relativité restreinte, un point matériel isolé admet pour trajectoire d'univers une géodésique de l'espace de Minkowski M 4 pour laquelle le ds 2 est positif (ou du genre temps). Les géodésiques isotropes (ds 2 = 0) représentent les trajectoires des rayons lumineux.
On a vu qu'en Relativité générale, on se propose d'étendre les principes de la R.R. (limités aux repères galiléens) à tous les repères (ou du moins à tous les repères einsteiniens qui constituent une classe beaucoup plus vaste que celle des galiléens); pour cela et pour décrire les forces d'inertie et les forces de gravitation, on a modifié la géométrie de l'univers qui est devenu un espace de Riemann.
La présence de corps matériels, au lieu d'engendrer des forces, comme dans la théorie de Newton, modifie la structure géométrique de l'espace-temps en introduisant un tenseur de courbure R μ ταβ non nul.
Il est de fait expérimental que les mouvements des masses matérielles dans l'univers réagissent les unes sur les autres; de ceci Newton a donné la description de la mécanique classique au moyen de ses forces attractives. Cette description n'est cependant pas en accord avec les exigences relativistes.
Si, en effet, on considère une masse d'épreuve infiniment petite non soumise à toute action électrique ou de contact, l'expérience montre que si cette particule n'est pas trop éloignée d'autres masses matérielles, son mouvement diffère profondément du mouvement rectiligne et uniforme prévu par le classique principe de l'inertie.
Ainsi, un ds 2 euclidien n'est susceptible de représenter qu'un univers vide de matière, c'est-à-dire sans gravitation.
Citons ici une idée de Mach qui refusait de considérer la loi de l'inertie comme le fondement ultime de la physique: un point matériel isolé ne doit pas se mouvoir, sans être accéléré, par rapport à l'espace, mais par rapport à l'ensemble de toutes les masses de l'univers. Nous verrons plus loin que la R.G. confirme pleinement le principe de Mach qui affirme en quelque sorte que l'inertie provient de l'action mutuelle des masses (et n'est pas une caractéristique intrinsèque de l'univers).
On est alors conduit à la généralisation naturelle du principe précédent, qui réalisera en outre la géométrisation de la gravitation.
| Principe des géodésiques. Loin ou près des masses (ou des distributions énergétiques) les géodésiques de l'élément ds 2 de V 4 définissent les trajectoires d'une masse d'épreuve libre de tout contact ou de toute action électrique (et la propagation de la lumière par ds 2 = 0 pour les photons). |
Autrement dit, un point matériel qui ne subit l'influence que de l'inertie ou de la gravitation décrit une géodésique de V 4 :
(13) γ α ≡ d 2 y α /ds 2 + Γ βσ α dy β/ds d y σ/ds = 0
Remarque. Dans les débuts de la théorie de la R.G., ce principe était considéré comme un postulat qui permettait de généraliser au mieux, et par une formulation invariante, le principe de l'inertie. On peut montrer qu'en réalité cette loi n'est pas un postulat indépendant, mais qu'elle se déduit des équations de la gravitation que nous écrirons plus loin. Ajoutons que cette loi des géodésiques n'est valable que pour les ds 2 qui satisfont aux équations d'Einstein.
Notons enfin qu'à cause de l'orthogonalité γ α u α = 0, le système (13) représente simplement 3 équations indépendantes (et non pas 4).
IX - Equations des géodésiques et équations newtoniennes du mouvement
Nous avons déjà vu que la première approximation (ou approximation galiléenne) des équations des géodésiques (avec g αβ = η αβ ) conduisait aux classiques équations y i = v i 0 t + y i 0 du principe de l'inertie.
Considérons maintenant la deuxième approximation (ou approximation quasi-galiléenne) avec g αβ = η αβ + γ αβ , les γ αβ étant 'petits'. Négligeons donc les termes d'ordre supérieur ou égal à 2 en γ et supposons en outre que le champ de gravitation dépend si peu du temps que les ∂ 0 γ αβ sont négligeables et que les vitesses sont négligeables devant c (ce qui revient à supposer que les masses qui créent le champ sont faibles et immobiles). Il vient alors
Γ βν α = 1/2 η αμ (∂ β γ νμ + ∂ ν γ μβ -∂ μ γ βν ), d'où Γ 00 i = 1/2 ∂ i γ 00 pour i = 1, 2, 3, et finalement avec ds ≈ dx 0 (puisque les dx i /ds sont négligeables devant dx 0 /ds), nous aboutissons à
d 2 x i /dt 2 = - c 2 ∂ / ∂ x i (γ 00 / 2), équations de la forme, avec U = - c2 γ 00 / 2 = - c2 / 2 (g 00 - 1):
(14) d 2 x i /dt 2 = ∂ U / ∂ x i
On obtient ainsi les équations d'un mouvement de type newtonien sous l'action d'un potentiel - U = c2 g 00 / 2 et g 00 représente donc, à un coefficient près, le potentiel de gravitation correspondant.
Dans les équations (13) interviennent les g et leurs dérivées qui définissent la gravitation; le problème est alors de déterminer effectivement ces potentiels comme solutions de certaines équations aux dérivées partielles.
Ces équations doivent d'une part généraliser les équations de Poisson (déduites de la théorie newtonienne) Δ U = - 4π G ρ (Δ opérateur laplacien, G constante de la gravitation universelle et ρ densité de matière), d'autre part s'écrire sous la forme d'une relation entre tenseurs symétriques de V 4 du type A αβ = χ T αβ (χ = 8 π G/c 2), avec A de signification géométrique et T de signification mécanique (et nul en dehors de la matière). Ce T doit décrire la distribution énergétique de la matière, c'est-à-dire doit être le tenseur impulsion-énergie de la R.R. qui est conservatif ∇ α T α β = 0. Quant à A , il doit être fonction des g, ∂g et ∂ 2 g, et linéaire en ∂ 2 g (analogie avec les équations de poisson) et il doit être aussi conservatif. Nous avons vu dans VI que c'est le cas de S α β .
E. Cartan a d'ailleurs montré que les seuls tenseurs satisfaisant aux conditions précédentes étaient
S αβ = h [R αβ - 1/2 (R + k) g αβ ] , h et k étant des constantes;
mais h est surabondant et l'on peut prendre k = 0, d'où
| les équations
d'Einstein de la gravitation
(15) S αβ = χ T αβ , soit explicitement R αβ - 1/2 R g αβ = χ T αβ , et à l'extérieur de la matière: (16) R αβ = 0 |
Dans les deux cas il s'agit d'un système de 10 équations à 10 inconnues g αβ .
Remarque. Si l'on reprend l'approximation quasi-galiléenne, il vient:
R 00 = 0 ce qui conduit à Δ U = 0 (équation de Laplace),
S 00 = χ T 00 ce qui conduit à Δ U = χ ρ soit Δ U = - 4π G ρ (équation de Poisson).
Observons que la Relativité concerne essentiellement les milieux continus et que, par conséquent, on devra utiliser des modèles d'origine hydrodynamique et non d'origine astronomique.
Par exemple, pour le schéma matière pure, le tenseur impulsion-énergie est T αβ = ρ u α u β et on obtient
R αβ - 1/2 R g αβ = χ ρ u α u β , et les équations de conservation ∇ α S α β = 0 conduisent à (contraction par u β):
∇ α (ρ u α) = 0 (équation de continuité de la matière),
u σ ∇ σ u α = 0 (équation du mouvement).
Pour le schéma fluide parfait, il faudrait partir du tenseur impulsion-énergie correspondant T αβ = (ρ + p/c 2 ) u α u β - p/c 2 g αβ ....
XI - Problème de l'inertie: conceptions de Mach
Les conceptions de Mach sur l'inertie s'énoncent ainsi:
1) L'inertie d'un corps doit augmenter si l'on accumule dans son voisinage des masses pondérables. 2) Un corps doit subir une force accélératrice si des masses dans son voisinage sont accélérées; la force doit être de même sens que cette accélération. 3) Un corps creux animé d'un mouvement de rotation doit engendrer dans son intérieur un champ de Coriolis qui fait que des corps en mouvement sont déviés dans le sens de la rotation; il doit encore produire un champ de forces centrifuges radial. |
Autrement dit les masses agissent les unes sur les autres ou encore l'inertie provient de l'action mutuelle des masses.
On peut alors montrer en utilisant les équations (13) et (15) et en poussant plus loin que l'approximation quasi-galiléenne que ces trois effets sont effectivement contenus dans la R.G.; notons cependant qu'ils sont, pour le moment, pratiquement inaccessibles à l'expérience à cause de la petitesse de χ qui intervient en facteur dans tous ces effets.
La conception de Mach qui traduit 'une relativité de tous les effets d'inertie' est donc très probablement correcte: les masses inertes agissent les unes sur les autres, quoique très faiblement, dans le sens de la relativité de l'inertie.
En outre seul un univers fini s'harmonise avec les idées de Mach; il est ainsi satisfaisant de voir que les propriétés mécaniques de l'espace sont complètement déterminées par la matière (ce qui n'est possible qu'avec un univers fini - spatialement - à densité de matière moyenne finie et non avec un univers infini à densité moyenne nulle ...).
[Le physicien autrichien Mach a aussi donné son nom au célèbre nombre de Mach qui exprime le rapport de la vitesse locale d'un corps dans un fluide et de la vitesse du son dans ce même fluide ...].
Si la Relativité générale d'Einstein a certainement donné naissance dès 1917 (avec, entre autres, l'introduction de sa constante cosmologique...), à une nouvelle science, la cosmologie (mot issu du grec kosmos qui signifie ordre ou univers, avec même une consonance d'ordre et beauté) celle-ci est encore loin d'une explication parfaitement ordonnée et démontrée de l'univers....
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| Renvois et rappels techniques. |
Notations. Pour des raisons de commodité, pour exprimer un vecteur, nous utilisons le sous-ligné ( _ ) plutôt que la flèche au-dessus ( → ). Ainsi les composantes contravariantes U i et covariantes U i du vecteur U s'exprimeront par les relations U = U i e i et U i = U . e i . Par ailleurs, traditionnellement en Relativité, l'alphabet latin et l'alphabet grec sont respectivement utilisés pour distinguer les indices muets qui prennent les valeurs 1, 2, 3 (espace seulement) et ceux qui prennent les valeurs 0, 1, 2, 3 (temps et espace). Par exemple les indices i, j, ... sont utilisés pour 1, 2, 3 et α, β, ... pour 0, 1, 2, 3.
Tenseur métrique de Minkowski. Tenseur de rang 2 (forme bilinéaire)
η 00 = 1, η 11 = η 22 = η 33 = 1, les autres composantes sont nulles
Convention d'Einstein. Dans l'expression d'une quelconque composante tensorielle tout indice muet répété en position haute et basse correspond à une sommation sur toutes les dimensions de l'espace.
Nous aurons donc v a w a ≡ Σ a v a w a et par exemple ici: η αβ dx α dy β = η 00 dx 0 dy 0 + η 11 dx 1 dy 1 + η 22 dx 2 dy 2 + η 33 dx 3 dy 3 .
Dérivation covariante. Si a est un champ de vecteurs défini sur un espace vectoriel E n de dimension n, pour définir la différentielle da on écrira:
da = d (ai e i ) = da i e i + ai de i = da i e i + ω j i e j = e i (da i + a j ω i j )
Nous noterons par ∇ a i la différentielle absolue de a i
(d0) ∇ a i = da i + a j ω i j
D'après leur origine même, ces quantités se transforment comme les composantes contravariantes d'un vecteur; il n'en est évidemment pas de même pour les quantités da i . Le plus souvent, on raisonnera en terme de dérivées partielles (avec ∂ k a i pour ∂ a i / ∂ y k )
∇ a i = ∂ k a i dy k + Γ kj i a j dy k = (∂ k a i + Γ kj i a j ) dy k ,
et on utilisera les composantes tensorielles (les d y k étant les composantes d'un vecteur)
(d1) ∇ k a i = ∂ k a i + Γ kj i a j
Le tenseur correspondant est appelé la dérivation covariante de a (on observera ici encore que les ∂ k a i n'ont pas, comme les ∇ k a i , le caractère tensoriel); de manière plus précise on a exprimé la dérivée covariante des composantes contravariantes d'un vecteur.
La dérivation covariante est donc l'extension à tous les systèmes de référence de la notion de dérivée partielle de l'algèbre ordinaire. On observe qu'il s'ajoute au terme habituel ∂ k a i , des termes Γ kj i a j tenant compte de la courbure éventuelle des lignes coordonnées; en coordonnées rectilignes, et en particulier en coordonnées cartésiennes, on retrouvera le seul terme ∂ k a i .
Si le vecteur a est donné par ses composantes covariantes a i , on déterminera façon analogue les composantes covariantes ∇ a i de da suivant les e i (∇ a i = da . e i ) et on obtiendra la dérivée covariante des composantes covariantes d'un vecteur:
(d2) ∇ k a i = ∂ k a i - Γ ki j a j
Remarque. Si le vecteur a possède une différentielle absolue identiquement nulle da = 0 (ou encore si ∇ k a i = 0 ou ∇ k a i = 0 pour tous k et i), les différents vecteurs du champ sont équipollents entre eux ou encore le champ est uniforme; on dira aussi que a est transporté parallèlement à lui-même ou subit un transport parallèle si ∇ a i = 0 ou ∇ a i = 0.
Avec (d1) et (d2) on étend facilement la formulation précédente à un quelconque champ de tenseurs d'ordre q; par exemple pour un 2 -tenseur défini par ses composantes mixtes t i j , on pourra écrire en se donnant 2 champs de vecteurs uniformes a et b pour définir la quantité scalaire (t i j a j b i )
∇ (t i j a j b i ) = a j b i ∇ (t i j ) = d (t i j a j b i ) = a j b i dt i j + t i j b i da j + t i j a j db i
ce qui fournira simplement les dérivées covariantes des t i j
(d3) ∇ k t i j = ∂ k t i j - Γ kj r t i r + Γ kr i t r j ;
ce résultant donne immédiatement la règle de formulation de la dérivée covariante d'une quelconque composante tensorielle. On pourra aussi définir des dérivations covariantes d'ordre supérieur, par exemple
∇ kr (a i ) ≡ ∇ k ( ∇ r a i )
On observera que sur un espace euclidien, et sur un espace euclidien seulement, on pourra commuter l'ordre des dérivations; il n'en est bien sûr pas de même pour les espaces possédant une certaine courbure comme les espaces riemanniens par exemple.
R αβ = ∂ β Γ αμ μ - ∂ μ Γ αβ μ + Γ αμ λ Γ λβ μ - Γ αβ λ Γ λμ μ ;
d'après (2), on obtient Γ αμ μ = 1/2 g λν ∂ α g λν = ∂ α √|g| / √| g| avec g = det (g αβ) et par ailleurs on utilisera la symétrie des Γ αβ, d'où le résultat R αβ = R βα .
L'opérateur laplacien en coordonnées cartésiennes (x, y, z) s'exprime classiquement par
Δ U = ∂ 2 U / ∂ x 2 + ∂ 2 U / ∂ y 2 + ∂ 2 U / ∂ z 2
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