- ABSTRACT
PRIME NUMBERS WITH FEW NON-ZERO DIGITS
There is a vast literature on prime numbers ([OEIS2], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], ...), essential building blocks of number theory, and perhaps, directly or indirectly, of all mathematics.
Staying with the decimal base, we propose here, based on a number of numerical experiments, some thoughts on prime numbers with very few non-zero digits, and therefore possibly many zeros: primes with only 2 or 3 non-zero digits and a certain number of zeros.
We continue the study of particular classes of prime numbers begun in [19] (which concerned a few primes with a single digit greater than 1), focusing essentially on the set of primes having only three non-zero digits, including two 1's and at least one zero (for example, 81001, 160001, 1100009 or 30000010000001). The only digit different from 0 and 1, denoted C, can belong to {2,3,5,6,8,9} (4 and 7 would lead to integers divisible by 3).
The three subclasses of numbers that may contain such primes are denoted C[0]1[0]1, 1[0]C[0]1, and 1[0]1[0]C, with [0] representing a sequence of z zeros, z >= 0; they are composed of, respectively, C10m + 10k + 1, 10m + C10k + 1, 10m + 10k + C, for m and k satisfying m > 1, 0 < k < m.
The first two subclasses involve C describing {2,3,5,6,8,9}, while the third can only contain C from {3,9} (otherwise, the resulting integers would all be even or divisible by 5).
Examples of firsts with at least one zero in each of the 3 subclasses are 81000001, 1006000001 and 10000100003.
We will provide a method for finding primes of these three types and demonstrate them up to lengths of over 2000 digits. We will supply the sequences of all prime numbers from the three previous subclasses for m = 2 to 30.
Finally, we'll use a few examples to generate primes, no longer with (C, 1, 1) but with any non-zero 3-digit number (CDE).
So, starting with non-zero three-digit numbers (primes or certain compounds), we build infinite families of primes with the same three non-zero digits in the same order and intermediate zeros (in increasing number with the size of these primes).
This study, for the moment purely descriptive, of the primes expressed (in decimal base) with at least one zero, allows us to conjecture that in an interval [2, 10^M], for M sufficiently large, there are very probably more of these primes than of the primes consisting solely of non-zero digits.
An online simulation for the four classes C11, 1C1, 11C, CDE is proposed.
- Mathematics Subject Classification-MSC2020: 11A41, 11N05, 68W30.
- Keywords: prime numbers, distribution of prime numbers, numerical experiments with prime numbers.
- INTRODUCTION
Il existe une volumineuse littérature sur les nombres premiers ([OEIS2], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], ...), briques essentielles de la théorie des nombres, et peut-être, directement ou indirectement, de toutes les mathématiques.
En restant en base décimale, nous proposons ici, à partir de nombreuses expérimentations numériques, des réflexions sur des nombres premiers à très peu de chiffres non nuls, et donc possiblement de nombreux zéros: les premiers à seulement 2 ou 3 chiffres non nuls et un certain nombre de zéros.
On poursuit l'étude de certaines classes de nombres premiers particuliers entamée dans [19] (qui concernait quelques premiers à un seul chiffre plus grand que 1), en s'intéressant essentiellement à l'ensemble des nombres premiers ne possédant que trois chiffres non nuls dont deux 1 et au moins un zéro (comme par exemple, 81001, 160001, 1100009 ou 30000010000001). Le seul chiffre différent de 0 et 1, noté C, pourra appartenir à {2,3,5,6,8,9} (4 et 7 conduiraient à des entiers divisibles par 3).
Les trois sous-classes de nombres pouvant contenir de tels premiers sont notées C[0]1[0]1, 1[0]C[0]1 et 1[0]1[0]C, [0] représentant une suite de z zéros, z >= 0; elles sont constituées de, respectivement, C*10m + 10k + 1, 10m + C*10k + 1, 10m + 10k + C, pour des m et k vérifiant m > 1, 0 < k < m.
Les deux premières sous-classes font intervenir des C décrivant {2,3,5,6,8,9}, la troisième ne peut contenir que des C dans {3,9} (sinon les entiers obtenus seraient tous pairs ou divisibles par 5).
Comme exemple de premier avec au moins un zéro pour chacune des 3 sous-classes citons respectivement 81000001, 1006000001, 10000100003.
On donnera une méthode pour trouver des premiers de ces trois types et on en exhibera jusqu'à des longueurs de plus de 2000 chiffres.
On fournira les suites de tous les nombres premiers des trois sous-classes précédentes pour m = 2 à 30.
Enfin à travers quelques exemples, on génèrera des premiers, non plus avec (C, 1, 1) mais avec des nombres à 3 chiffres non nuls quelconques notés CDE.
Ainsi à partir de nombres à trois chiffres non nuls (premiers ou certains composés), nous construisons des familles infinies de premiers possédant les mêmes trois chiffres non nuls dans le même ordre et des zéros intermédiaires (en nombre croissant avec la taille de ces premiers).
Cette étude, pour le moment purement descriptive, des premiers exprimés (en base décimale) avec au moins un zéro, permet de conjecturer que dans un intervalle [2, 10^M], pour M suffisamment grand, il y a très probablement plus de ces premiers que des premiers constitués uniquement de chiffres non nuls.
Une simulation en ligne pour les quatre classes C11, 1C1, 11C, CDE est proposée.
-1- LES PREMIERS A DEUX CHIFFRES NON NULS DONT UN 1 ET QUELQUES AUTRES PREMIERS ANNEXES.
Pour le cas des nombres à seulement deux chiffres non nuls dont un 1, on peut d'abord considérer le cas limite C = 1, soit les nombres 10k + 1 et montrer que les seules solutions sont k = 0, 1, 2 qui correspondent respectivement aux nombres premiers 2, 11 et 101.
- PROPRIETE 1 - Les seuls nombres premiers de la forme R(k) = 10k + 1, k >= 0, sont 2, 11 et 101.
En particulier, les seuls premiers possédant deux chiffres 1 et, éventuellement, un ou des zéros, sont 11 et 101; tous les suivants (1001, 10001, 100001, ...) sont des nombres composés.
Montrons que pour k > 2, R(k) = 10k + 1 est toujours un entier composé.
On peut encore écrire ces nombres pour k > 2, R(k) = 11*10k - 1 - 9...9 (k-1 chiffres 9).
Si l'entier 9...9 est toujours divisible par 9, avec un nombre pair de 9 il est aussi divisible par 11; donc pour tout k impair > 2, R(k) est divisible par 11.
Pour k pair, on peut utiliser R(k + 2) = 101*10k - 9...9 (k chiffres 9); pour k = 4n, l'entier 9..9 est un multiple de 101, et donc, pour tout n positif, R(4n+2) est divisible par 101 (en effet: 9999 = 99*101, 99999999 = 990099*101, 999999999999 = 9900990099*101, ....).
En traitant les entiers en modulo 4, seul le cas R(4n) n'est pas démontré (pour 4n + 1, 4n + 2 et 4n + 3 la propriété est établie).
La vérification numérique montre que R(4n) est toujours un nombre composé pour tout n au moins jusqu'à 4n = 50000.
On peut préciser quelques facteurs premiers des R(4n) suivant les valeurs de n.
Ecrivons 4n = (2k+1)*2r, k >= 0, r >= 2, R(4n) aura pour tout k, le facteur:
73*137 pour r = 2, 17 pour r = 3, 353*449 pour r = 4, 19841 pour r = 5, 1265011073 pour r = 6, 257*15361 pour r = 7, 10753 pour r = 8, ...
Le caractère composé de R(4n) étant très fortement probable, ce qui, rigoureusement, devrait être conjecture sera appelé la propriété 1 que l'on admettra (tant que l'on n'aura pas su exhiber un éventuel très grand premier de la forme 104n + 1).
L'entier 101 est par ailleurs le seul nombre premier parmi les entiers constitués uniquement de 1 et de 0 alternativement.
- PROPRIETE 2 - Parmi les entiers constitués uniquement de 1 (en nombre s > 1) et de 0 alternativement (commençant et finissant par 1), le seul qui est premier est 101 (s = 2).
Montrons que tous les autres (10101, 1010101, 101010101, ...) sont des entiers composés.
On peut les exprimer par A(s) = (102(s+2) - 1)/99, s > 0 (A(0) étant le nombre premier 101).
Le nombre de 1 dans A(s) est s + 2; pour s + 2 = 0(3), A(s) est manifestement divisible par 3 et donc A(s) = 3*K, K impair.
On peut ainsi écrire pour s + 2 = 1(3), A(s) = 3K*102 + 1, K impair, et pour s + 2 = 2(3), A(s) = 3K*104 + 101, K impair.
Pour tout s on vérifie facilement que si A(s) contient un nombre (s + 2) pair de 1, il est divisible par 101 et que si A(s) contient un nombre (s + 2) impair de 1, il est divisible par le repunit ((+)) 11n (n >= 2) de longueur n = s + 2 (par exemple 101010101 = 11111*9091), ce qui assure la propriété 2.
En revanche il existe des nombres premiers constitués uniquement (mais non alternativement) de 1 et 0 comme 10010101 ou 101001001 par exemple.
Ajoutons que les entiers 10k - 1 ne sont jamais premiers quel que soit k > 0 (car toujours multiples de 9).
- QUELQUES PREMIERS ANNEXES -
Les premiers de la forme C[0]1 (C*10k + 1, k > 0) pour C décrivant {3,4,6,7,9} (pour C = 2, 5, 8 il y aurait divisibilité par 3) sont tous répertoriés dans [OEIS1]:
C = 3 dans A056807 , C = 4 dans A056806 , C = 6 dans A056805 , C = 7 dans A056804 , C = 9 dans A056797 .
Citons enfin les premiers du type C*10k - 1, soit des C[9] à k + 1 chiffres de type C[0] -1:
2*10k - 1 répertoriés dans A002957 ;
3*10k - 1 répertoriés dans A056703 ;
5*10k - 1 répertoriés dans A056712 ;
6*10k - 1 répertoriés dans A056716 ;
8*10k - 1 répertoriés dans A056721 ;
9*10k - 1 répertoriés dans A056725 .
- 2 - LES PREMIERS A TROIS CHIFFRES NON NULS DE TYPE C[0]1[0]1 (ou C11)
Nos candidats premiers sont de la forme p(C, m, k) = C*10m + 10k + 1 , m > 1, 0 < k < m, C chiffre plus grand que 1.
Seuls 6 cas sont possibles C = 2,3,5,6,8,9 (pour 1, 4 et 7 il y a divisibilité par 3).
Pour m = 3, k = 1, toutes les 6 valeurs C possibles donnent un premier (2011, 3011, 5011, 6011, 8011, 9011).
Avec C = 5, il y a 165 solutions k pour m ∈ [2, 100], dont 6 pour m = 46.
Pour un C et un m donnés, on cherche les solutions k tels que le nombre p(C, m, k) soit premier.
Nous avons pu obtenir pour tout C, des valeurs de k jusqu'à des m de l'ordre de 2200.
Pout tout C, quelques rares m n'ont pas de solution en k, mais en général, il y a au moins de 1 à 6 solutions k pour un m donné.
On pourra noter que pour tout k > 0 il existe toujours au moins un couple (C, m), m > k > 0, tel que p(C,m,k) soit premier; on poura dire encore que tout 10k + 1, k > 0, est la terminaison d'au moins un nombre premier, C*10m + 10k + 1, m > 1.
-Exemple:
Pour 104 + 1 (qui n'est pas premier), il existe 3*106 tel que 3*106 + 104 + 1 soit premier, et aussi 3*108, 5*107, 5*1011, 6*107, 6*1050, 8*1013, ..., soit les couples (3,6), (3,8), (5,7), (5,11), (6,7), (6,50), (8,13).
Pour m aussi grand que l'on veut on pourra conjecturer qu'il existe toujours au moins un couple (C,k) tel que p(C, m, k) soit premier; disons encore que l'on peut toujours trouver un nombre à m + 1 chiffres qui soit premier de la forme C11.
- CONJECTURE 1 -
Pour m aussi grand que l'on veut, il existe toujours au moins un nombre premier de type C11, soit un couple (C,k) fournissant le nombre premier p(C, m, k) = C*10m +10k + 1, 0 < k < m, C appartenant à {2,3,5,6,8,9}.
On a pu exhiber de telles solutions pour des m au-delà de 2000.
Avec le code:
iso(C,m,k) = my(d=digits(C*10^m+10^k+1)); fromdigits(d)
resuk(m) = for(C=2,9, for(k=1, m-1, if(isprime(iso(C,m,k)), print1("C = ",C,"; k = ",k,"\n"))))
le logiciel Pari/Gp nous a permis d'obtenir des solutions de m = 2 jusqu'à des m de l'ordre de 2300.
Par exemple pour m = 2300, on obtient les solutions:
C = 2: k = 603, k = 802, k = 1990, k = 2202;
C = 5: k = 958;
C = 6: k = 593, k = 1259, k = 2108;
C = 8: k = 41;
C = 9: k = 57.
On a déjà indiqué dans [19] que m = 2354 a pour solution C = 3, k = 1150.
Pour C = 2, la liste de tous les premiers C11 pour m de 2 à 30 donne (33 nombres):
211, 2011, 20011, 20101, 21001, 2100001, 20001001, 200001001, 2000000011, 2000001001, 2010000001, 20001000001, 2000000001001, 2000001000001, 20000000100001, 200000010000001, 20000001000000001, 2000000000000100001, 20000000000000000011, 20000000100000000001, 200000010000000000001, 2000001000000000000001, 21000000000000000000001, 20000000000000000000000011, 20000000000000001000000001, 20000000001000000000000001, 200000000000000000010000001, 2000000000000000000000001001, 2000000000000000000000100001, 2000000000000000000010000001, 20000000010000000000000000001, 20000000100000000000000000001, 200000001000000000000000000001.
Ces premiers (déjà obtenus dans le dernier paragaphe de [19]) sont générés par le nombre premier 211.
Pour C = 3, la liste de tous les premiers C11 pour m de 2 à 30 donne (48 nombres):
311, 3011, 30011, 3001001, 3010001, 300001001, 300010001, 300100001, 3001000001, 3010000001, 30000000101, 30000100001, 300000000101, 30000000000011, 30000010000001, 300000000010001, 300000010000001, 300010000000001, 3000000001000001, 3000000010000001, 30000000000000101, 300000000000000011, 300000010000000001, 300001000000000001, 3000000001000000001, 3000001000000000001, 30000000001000000001, 30000000100000000001, 300000000000000000101, 300000000100000000001, 3000000000000000001001, 3000000010000000000001, 30000000000000010000001, 30000000000000100000001, 300000000100000000000001, 3000001000000000000000001, 30000000000000000000000101, 300000000000000001000000001, 300000000000100000000000001, 3000000000000000000000000011, 3000000000000000000000100001, 3000000000000000000001000001, 3000000001000000000000000001, 30000000000100000000000000001, 300000000000000000000000000011, 300000000000000000000010000001, 300000000010000000000000000001, 3000000000000100000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 311.
Pour C = 5, la liste de tous les premiers C11 pour m de 2 à 30 donne (51 nombres):
5011, 5101, 50101, 51001, 501001, 5000011, 5000101, 5001001, 50000101, 50010001, 500000101, 500001001, 500000010001, 500000100001, 5000000000101, 50000010000001, 500010000000001, 5010000000000001, 50000000000000101, 500000000000001001, 500001000000000001, 5000000000000010001, 5000000000100000001, 5000000100000000001, 50000000000100000001, 50000000010000000001, 500000000000000000101, 500000000000000010001, 500100000000000000001, 5000000000000000000101, 5000000100000000000001, 5000001000000000000001, 50000000000000000010001, 50000000000001000000001, 50001000000000000000001, 510000000000000000000001, 5000000000000000100000001, 5000000000000001000000001, 5000000010000000000000001, 5000010000000000000000001, 50000000000000000000010001, 500000000000000000000010001, 500000000010000000000000001, 5000001000000000000000000001, 5100000000000000000000000001, 50000000000000001000000000001, 50000100000000000000000000001, 500000000000000000010000000001, 510000000000000000000000000001, 5000000000000000000000010000001, 5000000001000000000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre composé 511 = 7*73.
Pour C = 6, la liste de tous les premiers C11 pour m de 2 à 30 donne (51 nombres):
6011, 6101, 60101, 61001, 600011, 600101, 6000011, 6000101, 6100001, 60000011, 60010001, 61000001, 6000010001, 61000000001, 600010000001, 601000000001, 6000000000101, 6000010000001, 600000000001001, 6000000000010001, 60000000000010001, 60000000100000001, 60000010000000001, 600000000000001001, 600010000000000001, 6000000001000000001, 60000000000000010001, 6000000000001000000001, 6000000001000000000001, 60000000000000000000101, 60000000000000100000001, 60000100000000000000001, 60100000000000000000001, 6000000000000000001000001, 6000000000000100000000001, 6001000000000000000000001, 60000000000000000001000001, 61000000000000000000000001, 600010000000000000000000001, 600100000000000000000000001, 6000000000000000000010000001, 6000000000000010000000000001, 6000010000000000000000000001, 6100000000000000000000000001, 60000000000000000001000000001, 60000000000001000000000000001, 6000000000000000001000000000001, 6000000000000001000000000000001, 6000000000000100000000000000001, 6000000010000000000000000000001, 6010000000000000000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre composé 611 = 13*47.
Pour C = 8, la liste de tous les premiers C11 pour m de 2 à 30 donne (58 nombres):
811, 8011, 8101, 81001, 800011, 801001, 8000101, 80010001, 81000001, 800000011, 800100001, 8000000011, 8000001001, 8001000001, 800000000101, 800000001001, 800010000001, 800100000001, 8001000000001, 80000000001001, 80000000010001, 80001000000001, 800000100000001, 801000000000001, 8000000000000011, 8000000000100001, 8000000100000001, 8000010000000001, 80000000000000011, 80000000000010001, 800000000010000001, 8000000001000000001, 80001000000000000001, 800000000000000001001, 8000000000000001000001, 8000000000001000000001, 8000000000100000000001, 8000000001000000000001, 8000100000000000000001, 80000000000001000000001, 80010000000000000000001, 81000000000000000000001, 800000000000000000000101, 800010000000000000000001, 8000000000000000000000101, 8001000000000000000000001, 80000000000000010000000001, 80000000000100000000000001, 80000000010000000000000001, 80010000000000000000000001, 8000000000000000000000100001, 8000000000000000100000000001, 8100000000000000000000000001, 80010000000000000000000000001, 8000000000000000000000000000101, 8000000000000000001000000000001, 8000000000000000100000000000001, 8000000000000001000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 811.
Pour C = 9, la liste de tous les premiers C11 pour m de 2 à 30 donne (30 nombres):
911, 9011, 90011, 9000011, 9001001, 90010001, 900000011, 9000000101, 90000000000101, 900000010000001, 9000000000000101, 9000000000001001, 9000000010000001, 9000010000000001, 9100000000000001, 90000000000000011, 900000000001000001, 90000000000100000001, 900000000000000000011, 9000000000000000001001, 9000000000000000010001, 9000000100000000000001, 9010000000000000000001, 91000000000000000000001, 900000000000000001000001, 900000000000001000000001, 90000000000000000100000001, 90000000000000100000000001, 90100000000000000000000001, 9000000000000000000000000011.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 911.
A partir de chacun des C11 précédents (nombres premiers ou composés), on est donc capable de générer une famille infinie de premiers débutant par C et se terminant par 1 avec un 1 et des zéros intermédiaires (ces derniers en nombre croissant avec la taille du nombre).
- 3 - LES PREMIERS A TROIS CHIFFRES NON NULS DE TYPE 1[0]C[0]1 (ou 1C1)
Avec un code et une démarche analogues au paragraphe précédent, on a pu exhiber des nombres premiers de la
forme 10m + C*10k + 1, m > 1, 0 < k < m, C chiffre appartenant à {2,3,5,6,8,9}.
Par exemple pour m = 2400, on obtient les solutions:
C = 3: k = 464, k = 1806, k = 2180;
C = 6: k = 1395, k = 1402, k = 1948;
C = 9: k = 1681.
Pour C = 2, la liste de tous les premiers 1C1 pour m de 2 à 30 donne (24 nombres):
1021, 1201, 102001, 1020001, 1000000021, 1000020001, 1000200001, 1002000001, 100200000001, 1000000020001, 10000000020001, 10000020000001, 100000000000000021, 100000000200000001, 1000000000000000201, 10000000000000020001, 1000000000000000002001, 100000000200000000000001, 1000000000000000200000001, 100000000000002000000000001, 100000000020000000000000001, 100000000000000000002000000001, 100000000000000200000000000001, 100000000002000000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre composé 121 = 11*11.
Pour C = 3, la liste de tous les premiers 1C1 pour m de 2 à 30 donne (50 nombres):
131, 1031, 1301, 10301, 13001, 103001, 1003001, 10003001, 100030001, 100300001, 130000001, 1000030001, 1003000001, 1030000001, 10000003001, 100030000001, 10030000000001, 100000000000031, 100000000030001, 100000300000001, 1000000000003001, 1000000003000001, 1000300000000001, 100000000003000001, 130000000000000001, 1000000000000000031, 1000000000030000001, 1000000000300000001, 1000030000000000001, 10000000000000030001, 100000000000000000301, 1000000000003000000001, 10000000000000000000301, 10000000000300000000001, 10000300000000000000001, 10300000000000000000001, 103000000000000000000001, 1000000000300000000000001, 10000000000030000000000001, 10000000003000000000000001, 10003000000000000000000001, 1000000000000000000000000301, 1000000000000000000000300001, 1000000000000000030000000001, 1000000000000300000000000001, 1000000000003000000000000001, 10000000000000300000000000001, 10000000000003000000000000001, 1000003000000000000000000000001, 1000030000000000000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 131.
Pour C = 5, la liste de tous les premiers 1C1 pour m de 2 à 30 donne (50 nombres):
151, 1051, 10501, 100501, 150001, 100005001, 100050001, 105000001, 150000001, 1000005001, 1000050001, 1500000001, 10000000501, 10000050001, 10000500001, 10005000001, 100005000001, 1000500000001, 10000000000051, 10005000000001, 100000000005001, 105000000000001, 1000000000500001, 1000500000000001, 1005000000000001, 10000000005000001, 10000000500000001, 10500000000000001, 100000000005000001, 1000500000000000001, 10000000000000000051, 10000000000000500001, 15000000000000000001, 100000000005000000001, 100050000000000000001, 150000000000000000001, 1005000000000000000001, 10000000005000000000001, 10000000050000000000001, 100000000000000000050001, 10000000500000000000000001, 100000000000000000000005001, 100000000000000000000050001, 1000000000000000050000000001, 1000500000000000000000000001, 1050000000000000000000000001, 100000000000000000050000000001, 100000000500000000000000000001, 1000000000500000000000000000001, 1000500000000000000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 151.
Pour C = 6, la liste de tous les premiers 1C1 pour m de 2 à 30 donne (46 nombres):
1061, 1601, 10061, 10601, 16001, 160001, 10006001, 100060001, 106000001, 1000060001, 1000600001, 1006000001, 10000000061, 10000000601, 10060000001, 100000060001, 1000000000061, 1006000000001, 10000000006001, 100000000000601, 100000006000001, 106000000000001, 1000000000600001, 10000000000000061, 10000000000060001, 10000060000000001, 100000000006000001, 100006000000000001, 100600000000000001, 16000000000000000001, 100000006000000000001, 1000600000000000000001, 10006000000000000000001, 16000000000000000000001, 100000000000600000000001, 100000000600000000000001, 10000000000000006000000001, 100000006000000000000000001, 1000000000000000000000006001, 1000000000000000060000000001, 10000000000000000000000000601, 10000000000000006000000000001, 10000000000000060000000000001, 100000060000000000000000000001, 100000600000000000000000000001, 1000000000000000000000000060001.
Ces premiers sont générés par le nombre composé 161 = 7*23.
Pour C = 8, la liste de tous les premiers 1C1 pour m de 2 à 30 donne (46 nombres):
181, 1801, 100801, 180001, 1000081, 1008001, 100000081, 100000801, 1000000801, 18000000001, 100000000801, 100000008001, 1000008000001, 10000000008001, 18000000000001, 100008000000001, 100800000000001, 10000000000800001, 10000000008000001, 10000008000000001, 100000000000000081, 108000000000000001, 1000000008000000001, 10000000000008000001, 10000800000000000001, 100000000000000000801, 1000000008000000000001, 10000000000000000000081, 10000000000000000008001, 10000000000000000800001, 18000000000000000000001, 100080000000000000000001, 1000000000000000000000801, 1000000000800000000000001, 10000000000000000000080001, 10000000000008000000000001, 100000000000000000800000001, 100000000000008000000000001, 100000000000080000000000001, 1000000000000000080000000001, 1000000000000080000000000001, 1000000800000000000000000001, 1000080000000000000000000001, 10000000000000008000000000001, 10008000000000000000000000001, 1000000000000000080000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 181.
Pour C = 9, la liste de tous les premiers 1C1 pour m de 2 à 30 donne (38 nombres):
191, 1091, 1901, 10091, 19001, 109001, 1000000901, 1090000001, 10000900001, 100000000091, 100000000901, 100090000001, 109000000001, 1000000000091, 1900000000001, 1000000000000091, 1000000000900001, 1000000009000001, 1090000000000001, 100900000000000001, 1000000900000000001, 10000000000000000091, 10000000000009000001, 10000000000090000001, 10000000090000000001, 10000900000000000001, 19000000000000000001, 10000900000000000000001, 100000000000000000000901, 1000000000000000000900001, 10000000000000000900000001, 100000000000000000000009001, 100000000000000009000000001, 100000000000000900000000001, 190000000000000000000000001, 1000000000009000000000000001, 10090000000000000000000000001, 100900000000000000000000000001.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 191.
A partir de chacun des 1C1 précédents (nombres premiers ou composés), on est donc capable de générer une famille infinie de premiers débutant par 1 et se terminant par 1 avec un C et des zéros intermédiaires (ces derniers en nombre croissant avec la taille du nombre).
- 4 - LES PREMIERS A TROIS CHIFFRES NON NULS DE TYPE 1[0]1[0]C (ou 11C)
Avec un C terminal, nous aurons ici moins de choix, les seuls cas possibles pour C étant 3 ou 9 (les autres valeurs donneraient un entier pair ou divisible par 5).
Ces premiers sont de la forme 10m + 10k + C, m > 1, 0 < k < m, C = 3, 9.
Si l'on note U(m, k) = 10m + 10k, 0 <= k < m, on a vu plus haut que, pour k = 0, U(1, 0) et U(2, 0) sont les seuls premiers et que les U(m, k), k > 0, ne sont jamais premiers; en revanche, nous allons voir qu'il existe de nombreux U(m, k) + C (= 1[0]1[0]C), C = 3 ou 9, qui sont premiers.
Un code et une démarche analogues aux deux paragraphes précédents permettent d'exhiber des nombres premiers de type 11C pour des m jusqu'à 2200.
Par exemple pour m = 2200, on obtient les solutions:
C = 3: k = 187, k = 296.
Pour C = 3, la liste de tous les premiers 11C pour m de 2 à 30 donne (49 nombres):
113, 1013, 1103, 10103, 11003, 100103, 1001003, 1010003, 10000103, 1000000103, 10000000103, 10000100003, 100000000103, 100100000003, 110000000003, 1000000100003, 1100000000003, 10000100000003, 10001000000003, 100000010000003, 1000000000001003, 1000000001000003, 1001000000000003, 10000000100000003, 10010000000000003, 11000000000000003, 100000000000000013, 100000000001000003, 100000010000000003, 1001000000000000003, 100010000000000000003, 1000000000001000000003, 1000000010000000000003, 10000000001000000000003, 11000000000000000000003, 100000000001000000000003, 1000000000000100000000003, 1000000000001000000000003, 10000000000000000000000013, 10000000000000000010000003, 10000000010000000000000003, 100000000000000000000001003, 100000000000000010000000003, 100001000000000000000000003, 1000000000000000000000000103, 1000000000000001000000000003, 10001000000000000000000000003, 100000000010000000000000000003, 1000000000000000000000001000003.
Ces premiers sont générés par le nombre premier 113.
Pour C = 9, la liste de tous les premiers 11C pour m de 2 à 30 donne (33 nombres):
1019, 1109, 100019, 100109, 101009, 1100009, 10000019, 10001009, 10100009, 1000100009, 1100000009, 10000000019, 100000000019, 100000001009, 100000100009, 100001000009, 10001000000009, 100000000000000019, 100100000000000009, 10000000000010000009, 10001000000000000009, 1000000000000000010009, 1000000100000000000009, 10000000000000000001009, 10000000000000000100009, 10000001000000000000009, 10000000000010000000000009, 10000000001000000000000009, 100000000001000000000000009, 10000000000100000000000000009, 100000000000000000010000000009, 100000000000000010000000000009, 1000000000000001000000000000009.
Ces premiers sont générés par le nombre composé 119 = 7*17.
A partir de chacun des 11C précédents (nombres premiers ou composés), on est donc capable de générer une famille infinie de premiers débutant par 1 et se terminant par C avec un 1 et des zéros intermédiaires (ces derniers en nombre croissant avec la taille du nombre).
- REMARQUE ET EXEMPLES -
Parmi les entiers à 3 chiffres non nuls de type C11, 1C1 ou 11C, il y a 9 premiers:
211, 311, 811, 911;
131, 151, 181, 191;
113.
Parmi les entiers à 4 chiffres (3 non nuls et un 0) de type C11, 1C1 ou 11C, il y a 23 premiers:
2011, 3011, 5011, 5101, 6011, 6101, 8011, 8101, 9011;
1021, 1031, 1051, 1061, 1091, 1201, 1301, 1601, 1801, 1901;
1013, 1019, 1103, 1109.
Parmi les entiers à 5 chiffres (3 non nuls et deux 0) de type C11, 1C1 ou 11C, il y a 20 premiers:
20011, 20101, 21001, 30011, 50101, 51001, 60101, 61001, 81001, 90011;
10061, 10091, 10301, 10501, 10601, 13001, 16001, 19001;
10103, 11003.
Parmi les entiers à 6 chiffres (3 non nuls et trois 0) de type C11, 1C1 ou 11C, il y a 17 premiers:
501001, 600011, 600101, 800011, 801001;
100501, 100801, 102001, 103001, 109001, 150001, 160001, 180001;
100019, 100103, 100109, 101009.
Illustrons le rôle de la place du 1 intermédiaire pour les 12 entiers 1[0]1[0]9 à 14 chiffres (parmi lesquels un seul est premier):
10000000000019 = 211*47393364929
10000000000109 = 7*257*563*631*15647
10000000001009 = 17*41*83*167*1035077
10000000010009 = 131*7193*10612523
10000000100009 = 61*163934427869
10000001000009 = 1861*5373455669
10000010000009 = 389*25706966581
10000100000009 = 7*41*73*137*3484007
10001000000009 est premier
10010000000009 = 641*15616224649
10100000000009 = 23*1669*10163*25889
11000000000009 = 6163*9431*189253
- 5 - LES PREMIERS A DEUX CHIFFRES NON NULS DE TYPE C[0]D
Notons CD un nombre à deux chiffres C, D quelconques non nuls ({CD} = (11, 12, 13, ..., 98, 99)); on appellera 0-successeur d'un CD, un nombre de la forme C[0]D, avec [0] suite de z zéros, z > 0.
Considérons les 21 nombres premiers à 2 chiffres de type CD (11, 13, ..., 89, 97), et cherchons ceux qui ont le plus de 0-successeurs premiers consécutifs à partir de C0D (C0D, C00D, C000D ...).
Le record est détenu par 71 (701, 7001, 70001, 700001, 700000001, 7000000001, ...) et 97 (907, 9007, 90007, 900007, 9000000000000007, ... ) qui ont quatre 0-successeurs premiers consécutifs (jusqu'à, respectivement, 700001 et 900007); 19 en a 3 (jusqu'à 10009) et 41, 53, 59, 67, 89 en ont 2. Les autres en ont un (11, 13, ..., 79) ou aucun (23, 29, 31, 43, 47, 73, 83).
Naturellement pour tout CD premier la liste de tous ses 0-successeurs C[0]D premiers est infinie; pour faciliter le listage de ces derniers nombres, on les notera C*10k + D, k > 1, et on déterminera les valeurs de k solutions pour un CD premier donné.
Par exemple pour CD = 97, il vient k = 2, 3, 4, 5, 15, 19, 20, 46, 52, 53, 192, 380, 588, 776, 906, 1350, 1736, pour k <= 2000. On observe bien que 97 possède quatre 0-successeurs consécutifs premiers (k = 2, 3, 4, 5) mais que les suivants n'apparaissent que pour k >= 15.
En revanche pour 83, il vient k = 31, 105, 113, 369, 1359, 6219, le plus petit 0-successeur premier n'apparaît que pour k = 31 et ils ne sont que 6 pour k <= 100000. Répertoriée dans [OEIS4], la suite des nombres k tels que 8*10k + 3 soit premier a été prolongée avec 105571 et 150975 par R. Price en 2015.
- 6 - LES PREMIERS A TROIS CHIFFRES NON NULS.
Dans les paragraphes précédents, nous avons construits des premiers à partir des 3 chiffres C, 1, 1 en leur adjoignant des zéros intermédiaires.
Nous allons ici partir de nombres à trois chiffres C, D, E quelconques non nuls (le générateur CDE étant premier ou pas); on cherchera d'abord à construire des premiers de la forme CD*10k + E, k > 1.
- Cas de CDE nombre premier
Pour 331 (33*10^k+1), on obtient k = 2, 5, 6, 7, 8, 29, 47, 145, 205, 227, 505, 553, 600, 787, 809, 1305, 1447, 1593, ce qui correspond aux premiers 3301, 3300001, 33000001, 330000001, 3300000001, ...;
pour 733 (73*10^k+3), il vient k = 4, 5, 6, 7, 11, 20, 22, 26, 29, 31, 48, 64, 78, 115, 163, 168, 196, 390, 505, 760, ce qui correspond aux premiers 730003, 7300003, 73000003, 730000003, 7300000000003, ...
Avec 311 (déjà considéré dans le paragraphe 2), pour 31[0]1 (31*10^k+1), on obtient k = 51, 65, 336, 747, 1452; on note qu'ici le plus petit 0-successeur premier est 31000000000000000000000000000000000000000000000000001.
Si l'on cherche des 3[0]11 (3*10k + 11), on obtient k = 3, 4, 13, 17, 27, 29, 40, 99, 107, 155, 165, 207, 230, 328, 723, ce qui correspond aux premiers 3011, 30011, 30000000000011, 300000000000000011, ...
Pour 859 (85*10^k+9), on obtient k = 3, 4, 6, 12, 14, 16, 18, 26, 37, 66, 69, 169, 274, 618, 681, 854, 942, 1747, ce qui correspond aux premiers 859, 85009, 850009, 85000009, 85000000000009, ...
Naturellement pour récupérer tous les premiers issus de CDE, il faut chercher les premiers du type général C[0]D[0]E (comme nous l'avons fait dans les paragraphes 2, 3, 4).
Par exemple le nombre premier 757 génère les premiers 7057, 7507, 70507, 700057, 7000057, 70000057, 70005007, 70050007, 70500007, 75000007, 750000007, 7000500007, 700000000507, 700000005007, 700000050007, 700050000007, 7000000000057, 7000000500007, 7000005000007, ....
-Cas de CDE nombre composé
Illustrons aussi cette démarche générale à partir d'un nombre composé CDE convenablement choisi.
Pour 623 = 7*89, si l'on cherche des premiers 6[0]23 (6*10^k+23) on obtient k = 6, 7, 12, 18, 25, 36, 41, 67, 69, 156, 467, 585, 901, 1650, ce qui correspond aux premiers 6000023, 60000023, 6000000000023, 6000000000000000023, ...; la recherche de 62[0]3 (62*10^k+3) fournit k = 2, 3, 4, 5, 10, 16, 35, 80, 101, 113, 116, 123, 184, 346, 1661, ce qui correspond aux premiers 6203, 62003, 620003, 6200003, 620000000003, ...
La recherche générale 6[0]2[0]3 (6*10^k+2*10^r+3, 1 <= r <= k - 1, k >= 2) donnera tous les premiers générés par le nombre composé 623: 6203, 62003, 600203, 620003, 6000023, 6200003, 60000023, 60002003, 600002003, 6000020003, 620000000003, 6000000000023, 6000020000003, 60000200000003, 60200000000003, 6000000002000003, 6002000000000003, 620000000000000003, 6000000000000000023, ..., 60000000000000000000000000000200000000003, ...
On peut ainsi construire tous les premiers constitués de 6,2,3 dans cet ordre (c'est-à-dire débutant par 6 et finissant par 3), avec autant de zéros intermédiaires que la primalité du nombre obtenu l'autorise; on définit ainsi la famille infinie {623} de tous les premiers générés (de cette manière) par le nombre composé 623.
Observons qu'avec les chiffres (2, 3, 6), outre 623, le seul autre nombre à pouvoir générer
des premiers est le premier 263:
2063, 20063, 26003, 200063, 260003, 20000063, 20006003, 20060003, 20600003, 26000003, 2000000063, 2000000603, 2000006003, 2000060003, 20000006003, 20000600003, 20060000003, 20000000006003, 2000000000000603, 2000060000000003, 2060000000000003, 20000000000000063, 20060000000000003, 26000000000000003, 20000000000000060003, 20000000006000000003, ...
A partir de nombres à 3 chiffres non nuls, soit des premiers soit certains composés, on sait donc ainsi construire une infinité de premiers formés exclusivement de ces 3 chiffres (dans le même ordre) et de zéros intermédiaires en nombre très vite croissant.
Les premiers exprimés en base décimale avec au moins un zéro constituent une sous-famille importante de l'ensemble des premiers et nous conjecturons que dans tout intervalle [2, 10^M] avec M suffisamment grand, ils sont plus nombreux que les premiers constitués uniquement de chiffres non nuls, les deux familles étant infinies et constituant par leur réunion l'ensemble de tous les premiers.
Dans un texte à venir, la démarche proposée succinctement ici sera précisée et généralisée à tous les nombres premiers (et à certains impairs composés) exprimés sans zéro dans leur écriture décimale pour générer des familles infinies de premiers associés possédant au moins un zéro dans leur expression, et ainsi distinguer deux familles de nombres premiers.
- CONCLUSION
On poursuit l'étude des classes de nombres premiers ne possédant que très peu de chiffres non nuls, partiellement entamée dans [19] (qui concernait quelques premiers à un seul chiffre plus grand que 1); parmi ces premiers ce sont ceux qui possèdent au moins un zéro, et le plus souvent plusieurs (et de plus en plus dès que leur taille augmente), que nous cherchons à décrire dans cette étude.
A partir de nombreuses expérimentations numériques, on considère essentiellement les premiers possèdant trois chiffres non nuls dont deux 1. Les trois sous-classes de tels premiers sont notées C[0]1[0]1 (pour C*10m + 10k + 1), 1[0]C[0]1 (pour 10m + C*10k + 1) et 1[0]1[0]C (pour 10m + 10k + C), les m et k vérifiant m > 1, 0 < k < m , C étant le seul chiffre non nul et [0] représentant une suite de z zéros, z >= 0. Les deux premières sous-classes ne peuvent faire intervenir que des C décrivant {2,3,5,6,8,9}, la troisième ne peut contenir que des C dans {3,9}.
On fournit une méthode pour trouver des premiers de ces trois types et on en exhibe jusqu'à des longueurs de plus de 2000 chiffres.
En particulier, les suites de tous les nombres premiers des trois sous-classes précédentes pour m = 2 à 30 sont exprimées.
Sur quelques exemples, on étend la construction de premiers, non plus à partir de (C, 1, 1) mais à partir d'un nombre à 3 chiffres non nuls quelconques.
Ainsi étant donnés des nombres à trois chiffres non nuls (premiers ou certains composés), nous construisons explicitement des familles infinies de premiers possédant les mêmes trois chiffres non nuls dans le même ordre et des zéros intermédiaires (en nombre croissant avec la taille de ces premiers).
Dès que l'on se place dans un intervalle suffisamment grand, nous conjecturons que ces premiers sont plus nombreux que les premiers constitués uniquement de chiffres non nuls, même si les deux familles constituant ainsi l'ensemble infini P des premiers sont elles aussi infinies.
(+) Un répunit est un entier naturel dont l'écriture dans une base donnée ne comporte que des chiffres 1; c'est un cas particulier de nombre uniforme (ou repdigit) qui est formé par la répétition d'un seul chiffre. Un répunit se note le plus souvent 11n ou (10n - 1) / 9 (= 100 + 101 + 102 + ... + 10n - 1), n > 0. (*) Professeur honoraire Université Paul Sabatier, Toulouse, France, webmaster du site SAYRAC .
Une version de ce texte est publiée dans Hal science ouverte, hal-04892415. - REFERENCES
[OEIS1] N.J.A.Sloane, L'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers , fondée en 1964.
[OEIS2] N.J.A. Sloane, Prime numbers, https://oeis.org/A000040.
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