On considère la famille des fonctions Z(x, j) de R dans R, avec j entier strictement positif donné:
si x < 0 , Z(x) = - x
si x >= 0 , Z(x) = Z[x - Z(x - j)]/2
Il s'agit de fonctions récursives, comme la fonction factorielle (voir notre fichier pour le calcul
de grandes factorielles ), mais très difficilement calculables pour tout x, surtout dès que j est petit.
Le cas j = 1 correspond à la fonction M(x) décrite dans l'article mesurer le temps en allumant des mèches de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science de septembre 2021.
On sait dans ce cas que seul un super ordinateur peut calculer M(3) = 1 / 21541023937, et que, pour le moment, M(4) n'est pas calculable ...
La fonction M a été récemment définie par J.Erickson, G.Nivasch et J.Xu dans leur article
Fusible numbers and Peano arithmetic ; les nombres fusibles sont des
nombres dyadiques de la forme k / 2n, avec k et n entiers positifs.
Leur propriété essentielle est que si x et y sont deux nombres fusibles tels que |x - y| < 1 alors (x + y + 1)/2 est aussi un nombre fusible.
Ces fonctions Z tendent rapidement vers 0, d'autant plus vite que j est petit; avec un code banal et un ordinateur standard, il semble que l'on peut calculer Z(x, j) pour des x au plus légèrement inférieurs à 3j ...Pour des x supérieurs le calcul devient vite trop long et même impossible avec les ordinateurs actuels ...
(Pour mieux visualiser l'action des fonctions Z dans Q, on pourra choisir pour x, aussi bien un réel (2, 1.36, ...) qu'une fraction (1/2, 7/6, ...) ).