( Fichier Sayrac 2022, en construction, 12/09/2022 )
Les nombres de KEITH (ou nombres repfigit)
ont été définis par Mike Keith en 1987 dans "Repfigit Numbers" (Journal of Recreational Mathematics, 19 (2), pp.41–42).
Etant donné un nombre positif N à p chiffres (p>1), ai (i=0 à p-1), on forme une suite avec les ai comme termes initiaux, le terme général étant la somme des p termes précédents; dès que n apparaît dans cette suite (croissante donc) on dit que N est un nombre de Keith.
Par exemple 61 qui donne la suite 6, 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61 est l'un des 6 nombres de Keith à 2 chiffes; on comptabilisera qu'à partir de 6, 1 il faut 6 itérations pour obtenir 61.
On fonctionnera ici en base 10 mais on pourrait envisager toute autre base ( Keith number ).
On ignore s'il existe une infinité de tels nombres (ou pas); il y en a seulement 114 inférieurs à 1035 et ils sont donc a priori plus rares que les nombres premiers ...
Les plus petits nombres de Keith sont: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, ... (liste de tous les nombres de Keith jusqu'à 1034 inclus ).
A titre d'exemples, 73583709853303061 est un nombre de Keith après 51 itérations, 119115440241433462 en est un autre après 52 itérations, 6195637556095764016 en est aussi un après 57 itérations; 70267375510207885242218837404 est un nombre de Keith après 90 itérations,
et 5752090994058710841670361653731519 en est un après 106 itérations.
Nombres de Keith premiers (en nombre infini ?). Il y en a 6 pour N < 1035:
19, 47, 61, 197, 1084051, 74596893730427.
Autour des nombres de Keith.
1) Existe-t-il des nombres de Keith multiples les uns des autres: on connaît trois tels ensembles (Keith cluster).
(14, 28), (1104,2208), (31331, 62662, 93993).
Y en a-t-il d'autres?
2) Existe-t-il des nombres dont la suite de Keith fait apparaître son nombre miroir (inversion de ses chiffres, 341 donne 143)? Ces nombres devront être à au moins deux chiffres et ne pas se terminer par un 0.
On parlera de nombre de Keith inverse (reverse Keith number).
On peut trouver 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, ..., 561624665953167171, ...
Parmi ceux-ci 71, 1593583, 54734431 sont des nombres premiers.
Voir Inverse Keith .
Y en a-t-il un nombre infini?