( Fichier Sayrac 2022, en construction, 20/10/2022 )
Ce fichier et son code forment un complément et une suite de la page Nombres premiers sûrs et nombres premiers de Sophie Germain.
Considérons l'application S de P (ensemble des nombres premiers) dans N* (entiers positifs):
S: p---> 2*p + 1, p étant un nombre premier.
Un nombre premier de Sophie Germain
est un premier p tel que S(p) soit aussi premier.
Definition- Un nombre p premier sera dit multi-germain d'ordre r (ou r-germain) si:
Sk(p) est premier pour tous les k = 1, ..,r.
Pour un tel nombre, p et les Sk(p), k = 1, 2, ..., r-1, sont tous des nombres premiers de Sophie Germain, seul Sr(p) est un premier banal.
Un nombre premier de Sophie Germain (noté PSG dans (*)) est 1-germain; 2 est le plus petit r-germain pour r = 1,2,3,4.
Le plus petit 5-germain est 89
Le plus petit 6-germain est 1.122.659 (il a 7 chiffres)
Le plus petit 7-germain est 19.099.919 (il a 8 chiffres)
Le plus petit 8-germain est 85.864.769 (il a 8 chiffres)
Le plus petit 9-germain est 26.089.808.579 (il a 11 chiffres)
Le plus petit 10-germain est 554.688.278.429 (il a 12 chiffres)
Puis (voir A005602 ) on aura, respectivement pour les plus petits 11, 12 et 13-germains:
4.090.932.431.513.069, 95.405.042.230.542.329, 90.616.211.958.465.842.219.
Bien sûr, si p est r-germain pour un quelconque r > 1 alors il est nécessairement PSG (r = 1),
et plus généralement m-germain pour tout m <= r (par définition et construction).
Tous les r-germains plus grands que 3, pour tout r >= 1, sont nécessairement égaux à 5 modulo 6 (car 2*1(6) + 1 = 3(6)).
Un nombre premier r-germain p est encore le premier terme d'une chaîne de Cunningham
de 1ère espèce de longueur r + 1, le dernier terme étant Sr(p), qui n'est pas un nombre premier de Sophie Germain.
On pourra remarquer que 2 et 89 sont les plus petits premiers p tels que les 2k*p + 2k - 1, k = 1 à 4, soient tous premiers, 89 ayant cette propriété jusqu'à k = 5.
On peut aussi faire l'analogue pour les nombres premiers associés à l'application:
D: p---> 2*p - 1, p étant un nombre premier.
On parlera de nombres r-2germains, les 1-2germains sont les nombres de l'ensemble noté G2-1 dans (*). Ces nombres sont encore les premiers termes des chaînes de Cunningham de seconde espèce de longueur r + 1.
Cet utilitaire permettra d'obtenir en ligne quelques nombres r-germains ou r-2germains pour des r de 1 à 10 ...