NOMBRES DE NIVEN-HARSHAD EGAUX A UNE PUISSANCE DE LA SOMME DE LEURS CHIFFRES René-Louis Clerc (novembre 2024) ((*))

Les nombres de Niven (ou nombres Harshad ou nombres multinumériques) sont tous les nombres divisibles par la somme de leurs chiffres dans une base donnée; ils sont faciles à exhiber ([OEI1]). Définis dans les années 1970, ces nombres ont depuis été régulièrement étudiés par plusieurs auteurs ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], 12], [13], [14], [15], [16], [17], [19], [20]). Nous envisageons ici, en base 10, spécifiquement les nombres de Niven n égaux à une puissance entière positive m de la somme S de leurs chiffres: n = Sm, m > 0. Les cas pour m de 1 à 6 sont classiques et traités dans ([20], [OEI6]), ceux de 3 à 5 étant répertoriés dans OEIS ([OEI5]), mais rien ne concerne, à ce jour, l'ensemble des solutions pour les cas m > 6. Nous montrerons essentiellement que ces nombres de Niven sont toujours en nombre fini pour tout m positif et nous en exhiberons de nombreux exemples jusqu'à m = 30000 en précisant quelques-unes de leurs propriétés. En particulier, pour tout m, leurs nombres de chiffres sont au plus égaux à un majorant R(m) que l'on déterminera. Nous avons par ailleurs explicité tous les cycles d'ordre 2 à 6 de l'application n --> Sm pour de nombreuses valeurs de m de 2 à 30000. Ces cycles sont en nombre fini et tous les points de cycles ont aussi au plus R(m) chiffres. Les résultats numériques proposés ont été obtenus essentiellement avec le logiciel PARI/GP, particulièrement adapté à nos calculs. Un code en ligne permet de calculer tous les nombres de Niven pour des puissances m jusqu'à m = 260.

- 1 - LES NOMBRES DE NIVEN n = S^m

On considère des nombres n à k chiffres (k > 0), n = ∑_i=1^i=k a_i 10^k-i, a₁ > 0, S(n) = ∑_i=1^i=k a_i.
On cherche des solutions n, pour un m positif donné, de n = (S(n))^m.
Pour alléger, on écrira le plus souvent S au lieu de S(n).
Pour toutes les applications
(1)    n --> S^m, m > 0,
on peut affirmer qu'il existe toujours un plus petit entier R(m) fini tel que le transformé par (1) du plus grand nombre à R(m) chiffres vérifie
(2)    (9*R(m))^m < 10^R(m),
c'est-à-dire qu'il possède au plus R(m) chiffres.
En notant #n le nombre de chiffres d'un entier n:
(3)    #S^m <= #n, pour tout n tel que #n >= R(m).
En revanche, les nombres n tels que #n < R(m), peuvent avoir une image par (1) à plus de #n chiffres.
Pour démontrer cette majoration, on peut s'inspirer de la démonstration générale DG proposée dans [18] en considérant la fonction F(R) = (9*R(m))^m - 10^R(m). On calcule ensuite la plus grande solution positive entière supérieurement approchée de F'(R) = 0. On peut aussi facilement calculer directement le plus petit R(m) assurant (2) pour un m donné, par exemple avec ((+)).
Pour un m donné, les nombres de Niven solutions n'ont ainsi pas plus de R(m) chiffres et il y a donc toujours un nombre fini de solutions.
Notons que cette majoration (2), qui démontre la finitude, n'est pas toujours la plus fine, les résultats numériques obtenus montrant que la plus grande solution, possède le plus souvent un nombre de chiffres strictement inférieur au R(m) correspondant.
- PROPRIETE 1
Pour tout m donné fini, il n'existe qu'un nombre fini de nombres de Niven égaux à la puissance m de la somme de leurs chiffres.
Nous avons calculé des R(m) jusqu'à m = 10⁶ et exhibé des solutions jusqu'à m = 30000; le tableau suivant donnera pour diverses valeurs croissantes de m, le majorant théorique R(m), le nombre total de solutions et les nombres de chiffres de la plus grande et de la plus petite solution (non triviale).
- Tableau 1 - SOLUTIONS de n = S^m, m > 0

Puissance m	Majorant théorique R(m) du nombre maximum de chiffres des solutions	Nombre total de solutions (y compris les triviales 0 et 1)	Nombre de chiffres de la plus grande solution	Nombre de chiffres de la plus petite solution non triviale
1	1	10	1	1
2	3	3	2	2
3	5	7	5	3
4	8	7	7	4
5	10	5	9	8
6	13	6	11	8
7	15	10	13	9
8	18	5	15	14
9	21	5	18	16
10	24	8	21	20
11	27	5	23	22
12	29	3	25	25
13	32	13	29	17
14	35	7	31	28
15	39	9	35	31
16	42	8	37	34
17	45	6	40	33
18	48	4	41	41
19	51	11	45	37
20	54	5	47	40
25	70	15	64	54
30	87	3	78	78
40	122	8	109	96
50	158	3	142	142
100	350	7	318	314
105	370	2 (0 et 1 seulement)	1
121	435	13	395	391
200	768	3	696	696
260	1032	4	943	942
500	2143	3	1967	1967
700	3114	4	2879	2878
900	4112	7	3809	3819
1000	4619	6	4295	4154
1155	5415	2 (0 et 1 seulement)	1
1500	7220	5	6724	6717
1800	8820	7	8229	8212
1999	9895	5	9237	9230
2000	9900	2 (0 et 1 seulement)	1
2001	9906	4	9240	9239
2024	10031	6	9370	9358
2025	10036	6	9371	9117
3000	15428	8	14453	14089
4000	21116	9	19802	19354
4698	25158	2 (0 et 1 seulement)	1
4980	26805	2 (0 et 1 seulement)	1
5000	26922	7	25284	23969
10000	57110	9	53885	53835
12000	69560	6	65649	64475
15015	88615	7	83747	83717
20000	120721	4	114239	114226
30000	186767	4	177053	177020
100000	678585
1000000	7849061

On observera que, pour tout m donné strictement supérieur à 3, les solutions (de l'ensemble des cas que nous avons traités) auront toujours un nombre de chiffres strictement inférieur à R(m), et, en outre, ce nombre sera de l'ordre de R(m) (même nombre de chiffres que R(m) ou très légèrement inférieur).
On peut même préciser que la plus petite solution a toujours un nombre de chiffres de l'ordre de celui de la plus grande (comparer les colonnes 4 et 5 du tableau 1), ces deux valeurs étant toujours assez proches inférieurement de R(m) (comparer les colonnes 2, 4 et 5).
Par exemple, pour m = 20, R(20) = 54, les 3 solutions non triviales ont respectivement 40, 46 et 47 chiffres; pour m = 40, R(40) = 122, parmi les 6 solutions non triviales, la plus petite possède 96 chiffres et la plus grande 109; pour m = 1000, R(1000) = 4619, les 4 solutions non triviales ont respectivement 4154, 4160, 4289 et 4295 chiffres.
Nous allons donner, pour quelques valeurs de m, toutes les solutions non triviales, explicitement ou par leurs nombres de chiffres (dès que m >= 1000):
- m = 1, R(1) = 1: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- m = 2, R(2) = 3: 81.
- m = 3, R(3) = 5: 512, 4913, 5832, 17576, 19683.
Les nombres de ce cas sont encore appelés les nombres de Dudeney ([OEI3]).
- m = 4, R(4) = 8: 2401, 234256, 390625, 614656, 1679616 ([OEI5]).
- m = 5, R(5) = 10: 17210368, 52521875, 60466176, 205962976 ([OEI5]).
- m = 6, R(6) = 13: 34012224, 8303765625, 24794911296, 68719476736 ([OEI6]).
Dans [20], cette puissance m = 6 était le dernier cas traité pour ce type de nombres de Niven et la conjecture 4 qui y était énonçée pour cette valeur de m se trouve démontrée ici.
- m = 7, R(7) = 15: 612220032, 10460353203, 27512614111, 52523350144, 271818611107, 1174711139837, 2207984167552, 6722988818432.
- m = 8, R(8) = 18: 20047612231936, 72301961339136, 248155780267521.
- m = 9, R(9) = 21: 3904305912313344, 45848500718449031, 150094635296999121.
- m = 10, R(10) = 24: 13744803133596058624, 19687440434072265625, 53861511409489970176, 73742412689492826049, 179084769654285362176, 480682838924478847449.
- m = 11, R(11) = 27: 8007313507497959524352, 21048519522998348950643, 23316389970546096340992.
- m = 12, R(12) = 29: 2518170116818978404827136.
- m = 13, R(13) = 32: 81920000000000000, 671088640000000000000, 14076019706120526112710656, 146853371345156431381127623, 166507350731038802170609664, 213292826014568334917410816, 240984500018808097135911707, 2017516459574609153391845376, 4491199828872408503792328704, 4946966739525117513427734375, 13695791164569918553628942336.
- m = 14, R(14) = 35 : 2670419511272061205254504361, 101472439712019470540189876224, 283956682347124706942551243009, 667840509835890864312744140625, 4219782742781494680756610809856.
On notera que A.Murthy a répertorié dans OEIS ([OEI2]) les plus grandes solutions de n = S^m pour m de 2 à 14, ces nombres étant quelquefois appelés nombres généralisés de Dudeney.
- m = 20, R(20) = 54: 1215766545905692880100000000000000000000, 1424201691977055041360709423546231879609039601, 20864448472975628947226005981267194447042584001.
- m = 25, R(25) = 70: 449987958058483731145152266240000000000000000000000000, 12795621425112113141935148247655082376252275523500373035251, 40719913064560249818128041081360346218088750603039104925501, 210281019656164214863109519134145127118463502897144582373376, 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376, 1771446674072174508225286450717886232339530422363435486157057, 2606229663144729566039563623004841124284699624933480197086501, 11534379242395753535341914088376535713095348879804515254117557, 55660922447187573821761251863649846565640419423580169677734375, 60574909849697616383534878613708060571267806502808902095077376, 71681420304936976905470042438674147582874433584558631779565568, 77943464916384201250278947277627946518095789363103497073007499, 1551484788048185532684923506896493070316489557389975896963919057.
Ce dernier cas, avec ses 15 nombres de Niven, est celui, parmi ceux que nous avons calculés, qui a le plus grand nombre de solutions.
- m = 50, R(50) = 158: 6088756057165842413963495435689772435661827794142515271698975394129898953430783013758874007679520460722888319793355549336411058902740478515625.
- m = 100, R(100) = 350: 28156948303436026875141188003519003901609271601050706433984676361472979358660181739591513955012701514141009863340083608788949636723746834761818305569937255658573764346716051276970940763259205135326739251286260014310870172358114320573850890896795421315688334949456868800038128517956668595872981019118421603593114001, 84124356888137256542250200354543752193519330401324682349382432088432243041470696088350462334382025186267163670246436206724455318657786488741769506104206333608014994961453651693011691127454383392525565382848773514853823009390402693469421435028636164900343327345317493179568113619859787785288588089680086519959781376, 724878937140196580755195476026882465967022866698688518169170668965471080570695256065812218383019281247722064058458511508586512874245207402367424602071070108921567614407489506523776565930545038990628874797210009137860822342344334507512355553283532371167298393447313157396201982399158735679627812957590330622005477376, 1109024003632305658467979069271663097822697973382487125623660048199131068780572076667376126171932166300751366696912370829176716626153437780060065424736662331472165604380115473941784260550829797503984871904869972024030471553113773150663875754160182631734334364080352283171866650393533988774848986658065819396919525376, 194746551110409512920018568581180676177147453931294515034782037196915939738083853455240680206766606028969696057849875823899385862942979781770200043688865666271980080275941228958332132777322069482207651726576748098711809799154256534977294895423823753611747218048307728215969833224967204826427956374553013884963900296001.
- m =500, R(500) = 2143: 29179067952140301170881339505896522106227751088857153027427567559866379468114557330425677065004090681067327098566054913210803322804015826016077764415752863883702802616171725449029740784892122857286477580682320991044786204335370671275245104185727056828144001730358189021613065784916821550410910527201433111833941239545469564897190211741109400816618077302329738569602475162571071127868689921619562669563168921041859811486396074269383832314304553521190542400928881687000381847498674696209280941286037869400948952827260370455273110637101622518291966040342538129247313043479589716355188384877839448509247137560248964789882660454797834374710699768037759738484157485322671508512568627929760573114785860655314318552615861344598451495116378656938660938034840459640291014847623542510363075734544114641349043675406841437615290319202080706602787546153672821761725454947816018784656349652504725635056358625239380743517208877430625147751932316352982120257922979306434224177329255394951243744228165468605342734876631112425350412552004704806202413574612374861728514360268917934813769580572193430013748880461419344098064798004973277681472677581226299467341373023210584646895393301096148138238098918438833033488594637629427290530622728388781849201749344633877964027388003192502389079211137371610297745236524278596283802362474761995314801644260924352587713509271540333040246127863173043061300619964233599532085739044209644982003178864913294193487902826543104171801954422853010979451157045274746332225741023739060527436644023794071045303457195822287014260600811925177550018978605033240082505432814250959467714910992963912522815175475175203508579471070907318111707605611207953186367543897534023849193491261065924485510134577557511699981549820333719871566730815407565453995787225899933184225753607429200147702816768618353723816900291845556143344148306193668356176719649616608246870872777802626645538876442173563908660506877380079488432664436815449910292633518105144451096645590765397740001.
A partir d'ici, nous ne donnerons, le plus souvent, que le nombre de chiffres des solutions non triviales.
On trouvera en fin de texte ((++)) le code pour une fonction Niven (R, m) donnant les nombres de chiffres de toutes les solutions de la puissance m choisie (pour le R(m) utiliser le tableau 1 précédent ou le code (+)).
- m = 1000, R(1000) = 4619: (4154), (4160), (4289), (4295).
- m = 1500, R(1500) = 7220: (6717), (6718), (6724).
- m = 1800, R(1800) = 8820: (8212), (8212), (8220), (8221), (8229).
Pour m = 1800, la plus grande solution est:
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6873172401401004826460290392027268187687785918248703893200775435043059847117890201634877916787371484261855387494309944052519988438754455736311817673569541739913257653778994802840674694942842633006025507301092886240770730885903512077939030885247899589670565212618148570291112265553000560352228880714864079244482475580956019219107694037118995566151993706840264168419006602360931547884247915690638568847896703928168231523111719589026817934732241615295332319054394048491624106247511669865790269232031645958742036316144537241196582472007224977541305182208972325907772776398411535488781564178155343056070393286131111847519993287795471621596102788252106991722870465441106194540842035971276917645227056533791107871712151102614896061925564768483961008890296167385138557602778996849003981905907929531080112375866084818328143387221262739056914787005226677532129668910816984957424678737769104470613344865511954012560189850801963161860835255960180651915494553646879347054132053058434427117595117006775430005919841973857532385073547574672379119921935393954767008681876444127288688004306392074338149197425649096406665959628591657924254409798872988766245821224843336562736262307488977815673420636653035757566574392710278021132346298604267792983984549647007927515118630754936741203659113887910549279892512764354452716908908021730930631679805172718489200929759956582466724225393986099259115946961121548313218337760000447874913910418541906938701591464172544032779208979477035943243414499937707632636509065436292853555189910310038268132725590445781254193357383378847706047127776221435575582713383051036590055941086621469927542229752881218013036774565765317418328883518589987998890060306599139644596908101779719222957549316794166425572726347853310691194026495947746600031242167953857386138807410542155049836581039309025391759202219755822690094926152271961618023911724566046944301458138217377026192510190334039883822740069346673042713576933066484172458573414868976708273987654917918929077167140647021201490388890145556616649035064232978191053655917281592302027372905309872192539367415322054874283292196767394883625392221624596065021133753559716296126689274991888551780573404657462343051469783589367735862512809806538048964312934848530942130090038242691745480241007890756825137739143324263289009928848258576888594960600868916396213705397158667440729277007031059803763310986877057161183786177189154768982647598109141608068076473695926530713836584418741593860323377370652475198969546030817994797850828786821230387721032756762381938961969516260048766836540585451995706239527189923775576317132219861376229229491782316746171530901030815311121301199978652546481268436978341142004695248287611056371447873596901744054995511730879733908587660918717560159445220237748059087892996256626062399328034386363138310170380909903687573705338381909135874319922566351613832524213511948649684863002111024756261516603790052269737671545168426029596235877862096021956273489812327583277143906045317880253607180104063674732412388734853925179073769456959362955511339544060318334162486522570212872528278091846262798931559654023380839783638676386147780525625324978079802084252318261140816782596895627163327553264153131650729670891255233655495106619338627174238567048995187904741376.
- m = 2024, R(2024) = 10031: (9358), (9363), (9367), (9370).
- m = 2025, R(2025) = 10036: (9117), (9360), (9367), (9371).
Nous avons calculé le cas m = 2024 pour faire un clin d'oeil à l'année en cours 2024 (et m = 2025 pour la suivante), comme nous l'avions déjà fait pour l'octuplet de l'année 2024 dans [21].
- m = 3000, R(3000) = 15428: (14089), (14431), (14438), (14441), (14452), (14453).
- m = 10000, R(10000) = 57110: (53835), (53838), (53839), (53853), (53863), (53868), (53885).
- m = 12000, R(12000) = 69560: (64475), (65643), (65644), (65649).
- m = 20000, R(20000) = 120721: (114226), (114239).
On trouvera plus bas ((+++)) un code pour expliciter la plus grande solution de ce cas m = 20000 qui possède 114239 chiffres.
- m = 30000, R(30000) = 186767: (177020), (177053).
On observera, sur les résultats obtenus, que le nombre de solutions non triviales est au plus de l'ordre de la dizaine (11 solutions non triviales pour m = 13 et 13 pour m = 25); on peut conjecturer que le nombre de solutions est toujours 'relativement petit'.
Les solutions triviales 0 et 1 étant toujours valables pour tout m, peut-il exister des m sans au moins une troisième solution ? Oui, c'est, par exemple, le cas pour m = 105 ou pour m = 2000, alors que pour 1999 et 2001 on obtient des solutions non triviales (3 pour 1999, à, respectivement, 9230, 9230, 9237 chiffres, et 2 pour 2001 avec 9239 et 9240 chiffres), mais aussi en fait pour une infinité d'autres puissances m (voir paragraphe suivant).
On peut montrer facilement que 1 est le seul entier positif dont la puissance 105 de la somme de ses chiffres est égale à lui-même et que cette puissance est la plus petite qui a cette propriété.
- PROPRIETE 2
La plus petite puissance m supérieure à 1 qui ne donne que les solutions triviales 0 et 1 est m = 105. On peut dire encore que pour tout m dans [1, 104], il y a toujours au moins une solution strictement plus grande que 1.
- REMARQUE 1
Nous avons déjà signalé une autre propriété remarquable de ce nombre 105 dans ([18], Propriété 17):
il n'existe aucun nombre entier strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des chiffres de sa puissance 105.
- PROPRIETE 3
Le nombre 1 est le seul entier strictement positif qui soit égal à la somme des chiffres de sa puissance 105 ainsi qu'à la puissance 105 de la somme de ses chiffres, ce qui donne un caractère doublement remarquable à la puissance 105.
Ajoutons que l'entier 105 est le produit des 3 plus petits nombres premiers impairs: 105 = 3*5*7.

- 2 - LES CYCLES DE L'APPLICATION n --> (S(n))^m

On peut facilement montrer que la transformation (1) est, comme n --> S(n^m) qui intervient dans [18] (et permet d'avoir une des propriétés de 105 signalées plus haut), une transformation agréable.
- PROPRIETE 4
Pour tout m fini, la transformation n --> (S(n))^m est une transformation agréable ([18], [20]) puisqu'elle possède un nombre fini de points fixes (propriété 1) et de cycles; elle est donc partout convergente dans N vers l'un de ses divers attracteurs.
Pour les éventuels cycles, en utilisant (2) on montrera facilement que les applications
   (S^m)^r = S^m o ... o S^m, pour tout r > 1,
vérifient la même propriété que S^m:
(4)    (S^m)^r(n*) < 10^R(m),
n* étant le plus grand nombre à R(m) chiffres; les points fixes de (S^m)^r qui sont les points du cycle d'ordre r de S^m ont donc au plus R(m) chiffres.
Il en résulte qu'il y a un nombre fini de cycles à valeurs finies et donc un nombre fini d'attracteurs pour (1) pour tout m fini.
Le majorant R(m) est valable pour TOUS les éléments des attracteurs (points fixes et points de cycles) de la transformation n --> S^m, m > 0.
Citons, par exemple, le cas m = 7 (R = 15), pour lequel il existe (en se limitant à l'ordre 6 inclus) quatre cycles d'ordre 2 dont les éléments ont tous 12 ou 13 chiffres: C2(1727094849536, 4902227890625), C2(114415582592, 506623120463), C2(319277809664 ,3521614606208), C2(1522435234375, 435817657216); il n'existe pas de cycle d'ordre 3 ni 5 ni 6, mais un seul cycle d'ordre 4, C4(78364164096, 1338925209984, 3938980639167, 10030613004288) avec une plus grande valeur à 14 chiffres.
Nous avons calculé, dans [1, 5000], toutes les valeurs de m qui ne donnent que les solutions triviales 0 et 1:
105, 164, 186, 194, 206, 216, 231, 254, 282, 285, 302, 314, 324, 374, 386, 402, 416, 456, 468, 491, 504, 521, 552, 588, 606, 610, 615, 629, 651, 656, 657, 696, 759, 794, 830, 842, 854, 870, 903, 906, 954, 956, 981, 998, 1029, 1064, 1079, 1082, 1109, 1112, 1131, 1136, 1148, 1155, 1166, 1217, ..., 2000, 2054, 2075, ..., 4514, 4526, 4553, 4586, 4595, 4637, 4658, 4668, 4698, 4736, 4737, 4739, 4742, 4784, 4797, 4811, 4842, 4847, 4866, 4874, 4884, 4919, 4940, 4952, 4977, 4980.
Une partie de la liste de tels nombres est répertoriée dans ([OEI4]) par F. Firoozbakht et M. S.Branicky.
On observera que 1155 (= 3*5*7*11, produit des 4 plus petits premiers impairs) fait partie de cette liste, comme 105 (= 3*5*7), en revanche 15015 (= 3*5*7*11*13) possède 7 solutions.
- PROPRIETE 5
Il existe une infinité de valeurs de la puissance m (toutes strictement supérieures à 104) pour lesquelles l'équation n = S^m n'a que les solutions triviales 0 et 1.
Si l'on note m_t ces valeurs de m, on peut dire que pour toutes les valeurs de m différentes des m_t il y a toujours au moins 3 nombres de Niven égaux à S^m.
Pour ces valeurs m_t, l'application (1) (sans point fixe plus grand que 1) pourra cependant posséder des cycles de divers ordres (nous nous limitons à l'ordre 6 inclus) que l'on peut exhiber.
Par exemple:
pour m = 105 (R = 370), il n'y a pas de cycle d'ordre 2, ni d'ordre 4, un seul cycle d'ordre 3 (avec des valeurs de 333 à 336 chiffres), un seul cycle d'ordre 5 (avec des valeurs de 315 à 335 chiffres) et aucun d'ordre 6;
pour m = 2000 (R = 9900), il y a deux cycles d'ordre 2 (avec des valeurs de 8687 à 9196 chiffres), trois cycles d'ordre 3 (avec des valeurs de 9015 à 9247 chiffres), aucun d'ordre 4, un seul d'ordre 5 (avec des valeurs de 9229 à 9241 chiffres) et aucun d'ordre 6:
pour m = 4698 (R = 25158), il n'y a pas de cycle d'ordre 2, il y a deux cycles d'ordre 3 (avec des valeurs de 23115 à 23621 chiffres), aucun cycle d'ordre 4, un cycle d'ordre 5 (avec des valeurs de 23167 à 23615 chiffres ) et un cycle d'ordre 6 (avec des valeurs de 23607 à 23634 chiffres);
pour m = 4980 (R = 26805), il y a un seul cycle d'ordre 2 (avec des valeurs à 25161 et 25169 chiffres) et aucun cycle d'ordres 3 à 6 inclus.
On peut aussi naturellement obtenir de nombreux cycles d'applications (1) pour des puissances m quelconques; nous avons pu le faire jusqu'à m = 30000.
Par exemple (en nous limitant à l'ordre 6 inclus):
pour m = 2024 (R = 10031), il n'y a pas de cycle d'ordre 2, mais un seul cycle d'orde 3 (plus grande valeur à 9366 chiffres), un seul cycle d'ordre 4 (plus grande valeur à 9362 chiffres), un seul cycle d'ordre 5 (plus grande valeur à 9368 chiffres) et pas de cycle d'ordre 6;
pour m = 3000 (R = 15428), on obtient un seul cycle d'ordre 2 (plus grande valeur à 14439 chiffres), pas de cycle d'ordre 3, un seul cycle d'ordre 4 (plus grande valeur à 14449 chiffres), un seul cycle d'ordre 5 (plus grande valeur à 14450 chiffres) et pas de cycle d'ordre 6; pour m = 10000 (R = 57110), il existe un seul cycle d'ordre 2 dont les éléments ont respectivement 53838 et 53857 chiffres, trois cycles d'ordre 3 (plus grande valeur à 53848 chiffres), un seul cycle d'ordre 4 (plus grande valeur à 53880 chiffres), pas de cycle d'ordre 5 et trois cycles d'ordre 6 (plus grande valeur à 53858 chiffres);
pour m = 20000 (R = 120721), il existe un cycle d'ordre 2 (plus grande valeur à 114211 chiffres) mais pas de cycle d'ordre 3 à 6 inclus;
pour m = 30000, R(30000) = 186767, nous avons pu montrer (plus d'une dizaine d'heures de calcul sur un PC correct) qu'il existe deux cycles d'ordre 2 (avec des valeurs à 176997, 177017, 177031 et 177047 chiffres), pas de cycle d'ordre 3, un cycle d'ordre 4 (avec des valeurs à 174624, 176894, 177024 et 177073 chiffres), et pas de cycle d'ordre 5 ni 6.
Le tableau suivant donne le nombre total de cycles d'ordre 2 à 6 pour quelques valeurs de m de 2 à 30000.
- Tableau 2 - CYCLES d'ordre 2 à 6 de n --> S^m, m > 0
On indique entre parenthèses le nombre maximum de chiffres du plus grand point de cycle pour un m donné: 2 (8) pour m = 5 (R = 10), signifie que la plus grande valeur des deux cycles d'ordre 2 possède 8 chiffres.

Puissance m (R)	Nombre de cycles d'ordre 2	Nombre de cycles d'ordre 3	Nombre de cycles d'ordre 4	Nombre de cycles d'ordre 5	Nombre de cycles d'ordre 6
1 (1)	0	0	0	0	0
2 (3)	1 (3)	0	0	0	0
3 (5)	1 (5)	0	0	0	0
4 (8)	1 (6)	0	0	0	0
5 (10)	2 (8)	0	1 (9)	0	0
6 (13)	0	0	0	0	0
7 (15)	4 (13)	0	1 (14)	0	0
8 (18)	1 (15)	0	1 (15)	0	0
9 (21)	1 (18)	1 (18)	1 (18)	0	0
10 (24)	0	1 (19)	0	0	1 (20)
11 (27)	0	0	2 (23)	0	1 (24)
12 (29)	1(26)	0	0	0	0
13 (32)	4 (30)	1 (27)	0	0	0
14 (35)	2 (30)	0	0	0	0
15 (39)	1 (33)	0	0	0	0
20 (54)	2 (49)	2 (49)	0	0	0
25 (70)	2 (63)	1 (62)	1 (60)	1 (62)	1 (62)
50 (158)	1 (142)	1 (140)	1 (141)	0	1 (142)
100 (350)	3 (317)	0	1 (318)	3 (318)	2 (319)
105 (370)	0	1 (336)	0	1 (335)	0
121 (435)	9 (395)	1 (395)	2 (396)	1 (395)	0
260 (1032)	2 (940)	2 (946)	1 (943)	0	1 (949)
500 (2143)	4 (1979)	0	0	0	1 (1982)
700 (3114)	0	1 (2882)	0	2 (2879)	0
1000 (4619)	0	0	0	0	0
1500 (7220)	1 (6730)	0	0	0	1 (6721)
1800 (8820)	0	0	1 (8225)	0	0
2000 (9900)	2 (9196)	3 (9247)	0	1 (9241)	0
2024 (10031)	0	1 (9366)	1 (9362)	1 (9368)	0
2025 (10036)	3 (9380)	1 (9375)	0	0	0
3000 (15428)	1 (14439)	0	1 (14449)	1 (14450)	0
4000 (21116)	2 (19806)	1 (19810)	0	0	2 (19812)
4698 (25158)	0	2 (23621)	0	1 (23615)	1 (23634)
4980 (26805)	1 (25169)	0	0	0	0
5000 (26922)	1 (25286)	1 (25274)	1 (25292)	0	1 (25295)
10000 (57110)	1 (53857)	3 (53848)	1 (53880)	0	3 (53858)
20000 (120721)	1 (114211)	0	0	0	0
30000 (186767)	2 (177047)	0	1 (177073)	0	0

Parmi les puissances que nous avons considérées, on peut déterminer les plus petits (en termes de leurs valeurs numériques) cycles d'ordre de 2 à 6.
Le plus petit cycle d'ordre 2, (169, 256), est obtenu pour m = 2, R(2) = 3.
Le plus petit cycle d'ordre 3, (58871586708267913, 167619550409708032, 427929800129788411), est obtenu pour m = 9, R(9) = 21.
Le plus petit cycle d'ordre 4, (16807, 5153632, 9765625, 102400000), est obtenu pour m = 5, R(5) = 10.
Le plus petit cycle d'ordre 5, est obtenu pour m = 25, R(25) = 70, ses nombres de chiffres respectifs sont (54), (57), (59), (61), (62).
Le plus petit cycle d'ordre 6, (34050628916015625, 984930291881790849, 3743906242624487424, 12157665459056928801, 34867844010000000000, 90438207500880449001), apparaît pour m = 10, R(10) = 24.
Citons enfin le plus petit cycle d'ordre 5 (il en existe deux autres) pour m = 100, R(100) = 350: ses nombres de chiffres respectifs sont (295), (298), (300), (312), (312); voir (++++) pour les valeurs explicites.
- REMARQUE 2
Nous avons vu que les nombres de Niven cherchés (et que nous avons calculés) ont le plus souvent un nombre de chiffres strictement inférieur au majorant R(m), mis à part le cas des solutions 0, 1, 2, .., 9 du cas m = 1, R(1) = 1 et les solutions 17576, 19683 du cas m = 3, R(3) = 5.
De la même manière, tous les points de cycles (que nous avons calculés) ont le plus souvent des valeurs avec un nombre de chiffres strictement inférieur à R(m), mis à part le cycle d'ordre 2 (169, 256) du cas m = 2, R(2) = 3 et l'une des valeurs du cycle d'ordre 2 (6859, 21952) du cas m = 3, R(3) = 5.
On peut observer que, pour tout m > 3, les valeurs numériques des points fixes (non triviaux) et des points des cycles que nous avons calculés ont toutes un nombre de chiffres strictement inférieur à R(m) mais le plus souvent de l'ordre de R(m), comme le montrent les tableaux 1 et 2.
Comme illustration, citons la puissance m = 121, R = 435 (une des plus riches en nombre d'attracteurs), qui possède treize nombres de Niven de 391 à 395 chiffres, neuf cycles d'ordre 2 avec des valeurs entre 344 et 395 chiffres, un cycle d'ordre 3 (393 à 395 chiffres), deux cycles d'ordre 4 (390 à 396 chiffres), un cycle d'ordre 5 (392 à 395 chiffres) mais pas de cycle d'ordre 6.
- PROPRIETE 6
Si l'on note n un point fixe (nombre de Niven cherché) et c une valeur d'un point de cycle d'une application (1), pour toute valeur de m, les nombres de chiffres de tous les n et tous les c (associés à tous les attracteurs pour la puissance m) sont toujours encadrés par (la borne supérieure pouvant être exceptionnellement atteinte):
   1 <= #n <= R(m),
   3 <= #c <= R(m).
Les applications n --> S^m, m > 0, se prêtent donc assez bien à une étude détaillée de leurs divers attracteurs (points fixes qui sont les nombres de Niven que nous cherchons ici et cycles de divers ordres) essentiellement grâce à leurs propriétés de finitude (propriétés 1 et 4) qui en font des transformations agréables ([18], [20]).

- CONCLUSION

Nous avons montré que les nombres de Niven égaux à une puissance m de la somme de leurs chiffres sont toujours en nombre fini pour tout m fini donné, et leurs nombres de chiffres sont au plus égaux à un majorant R(m). L'application sous-jacente n --> (S(n))^m est partout convergente dans N et possède un nombre fini d'attracteurs (points fixes qui sont nos nombres de Niven cherchés et cycles de divers ordres), ce qui en fait une transformation agréable ([18], [20]).
De nombreuses illustrations, essentiellement obtenues avec le logiciel PARI/GP, fournissent des solutions jusqu'à m = 30000 et confirment la propriété de finitude numériquement en explicitant le majorant théorique R(m) jusqu'à m = 10⁶.
Nous avons par ailleurs déterminé tous les cycles d'ordre 2 à 6 pour de nombreuses valeurs de m de 2 à 30000; ces cycles sont en nombre fini et tous les points de cycles ont aussi au plus R(m) chiffres.

- REMERCIEMENTS -
Je remercie Kevin Ryde reviewer de [OEI6] dont les critiques et remarques m'ont permis d'améliorer le code du cas m = 6 (plus grande puissance m considérée dans [20]), ce qui m'a conduit à poursuivre et à développer des codes très efficaces qui permettent de traiter ici le cas m quelconque avec des résultats numériques effectifs, pour des temps de calcul raisonnables, jusqu'à m = 30000.

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(+) On choisira une borne B suffisamment grande dans ce code pour le logiciel Pari/Gp qui fournira le R(m) cherché:
Maj(m, B)=for(r=2, B, if((r*9)^m <10^r, print1("R(",m,") = ", r, ";"); break))
(++) Fonction pour le logiciel Pari/Gp, fournissant les nombres de chiffres de toutes les solutions pour la puissance m, étant connu le majorant théorique R(m) correspondant
Niven(R,m) = {for (k=0, sqrtnint(10^R,m), if (k^m == sumdigits(k^m)^m, print1("(", #digits(k^m), "), ")))}
(Si l'on veut aussi expliciter les solutions on ajoutera k^m dans le print).
(+++) Code pour le logiciel Pari/Gp, qui donnera immédiatement la plus grande solution pour m = 20000:
for (k=sqrtnint(10^114238,20000), sqrtnint(10^114240,20000), if (k^20000 == sumdigits(k^20000)^20000, print1(k^20000));)
(++++) Plus petit cycle d'ordre 5, obtenu pour m = 100: (5538245313966903953832284070188553966722599763016413184486431873658442657507875180223380473951500282752515049591858151328761512481884356271326470558318948311413276666261374602537305891234989002308061209676656835816630889959112344562820994736804184777067460383194013189116651228663458253951205376, 2054874770523598859452356850672465728454246358397397389598387426034573130140371040102849434362793266713443878621121465117200362087707685687952793663147882166020990042510842921885365259475282045173760000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 404916476011427008350459269356526771456597339912536592435060251584260056792885477722468791520755537051244090336115841388537256563182995150682544191397066210518063354232480362663108705559525092733699497518855513693554090307012481497079105854358647715942451058494883290678895018674192636163673160144001, 494270459298785956455777867738313904188017033318513627383229830301619824906729889322483411175830815550180482749263122597956585012770823306010864589562316095446001898094996468971393201672303403890440522487163215211149000126522685377081190420482891925560004456309422364138775882348779069653448962950426940260114001, 780863786881556191548582789703264698754007568951775677931184904315419357221838756794337591838756762758307330670103449151350296351757665827810097151087444913773252128337885878362137095701224153660841106834233888931079774395899953341275461031451657180592651778590861699259374761883378823767998255789279937744140625).

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(*) Professeur honoraire Université Paul Sabatier, Toulouse, France, webmaster du site SAYRAC .
Une version de cet article a été publiée dans HAL science ouverte le 15/11/2024 ( hal-04783457 ).

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