NOMBRES DE ARMSTRONG DES QUATRE ESPECES ET VARIANTES René-Louis Clerc (février 2024) ((*)) Pour ceux qui n'aiment pas les nombres, passez votre chemin ...

Dans '536 puzzles and curious problems', H.Dudeney [2] aurait été le premier à poser le problème de la recherche de nombres égaux à la somme des cubes de leurs chiffres autres que 370 et 407, les premiers nombres narcissiques ou nombres de Armstrong de première espèce. Les quatre espèces de nombres de Armstrong ont été ensuite explicitement définies par Michael F. Armstrong dans [1]: étant donné un nombre n non nul, ce sont les points fixes d'applications Aj (qui seront précisées plus bas dans le texte) qui dépendent de n exclusivement par l'intermédiaire des chiffres de celui-ci. Nous analyserons les quatre cas et leurs représentants en base de 2 à 10, avec quelques variantes éventuellement, puis nous étendrons la démarche en passant à une puissance r > 1 de n, la dépendance en n se faisant alors exclusivement par l'intermédiaire des chiffres du nombre nr. On définiera une cinquième espèce de nombres de Armstrong qui s'identifiera à une classe de certains nombres particuliers de Niven introduits dans [14]. Tous ces nombres seront déterminés en base de 2 à 10 ainsi que les r-nombres correspondants associés à une puissance de n. Les nombres de Armstrong de chaque espèce sont en nombre fini, de même que les variantes qui seront envisagées; les illustrations numériques donneront les solutions au moins dans l'intervalle [1, 10^7]. Une simulation numérique de ces divers nombres de Armstrong est proposée en ligne.

Etant donné un entier n non nul,
n = ∑_i=1^i=k a_i 10^k-i, a₁ > 0,
on envisage des applications
(1)   n ---> A_j (n), j = 1 à 5,
puis nous étendrons (1) en passant à une puissance r > 1 de n:
(1')   n ---> A_j (n^r), j = 1 à 5, r > 1.
Pour passer à une base b autre que 10, on transformera n en n_b et on lui appliquera (1) pour r = 1 ou (2) pour r > 1, ce qui donnera pour b et r quelconques:
(2)  n --> n_b --> (n_b)^r --> A_j ((n_b)^r), 1 < b < 11, r >= 1, j= 1, ..., 5.
Dans tous ces cas, les fonctions A_j dépendront du nombre n (ou n_b) ou n^r (ou (n_b)^r) exclusivement par les chiffres de ce nombre.
Ces fonctions A_j seront des sommes de leurs chiffres à une certaine puissance, le nombre de chiffres pour A₁, l'indice du chiffre pour A₂, le chiffre lui-même pour A₃ ou un nombre quelconque q pour A₄; pour notre variante A₅, c'est la somme des chiffres qui sera élevée à une puissance quelconque q.

- A1 - NOMBRES de ARMSTRONG de PREMIERE ESPECE et VARIANTES -

Pour un nombre n à k chiffres, la fonction S_p(n) exprimera la somme des puissances p >= 1 de tous les chiffres de n:
n = ∑_i=1^i=k a_i 10^k-i, a₁ > 0, S_p(n) = ∑_i=1^i=k a_i^p, p >= 1.
Les nombres de Armstrong de première espèce ([OE1]), ou nombres narcissiques (parfaits) ou ppdi, sont des nombres à k chiffres définis par la somme des puissances k de tous leurs chiffres:
(3)  A₁(n) = S_k(n)
Pour passer à une base quelconque b, on transformera n en n_b et on appliquera (3) à ce dernier.
On se propose de déterminer ces classiques ppdi ainsi que les rppdi ([12], [13], [OE5]), en base décimale et aussi dans une base b quelconque.
Nous traiterons ici les cas des bases de 3 à 9 (la base 2 n'a que la solution triviale 1 et la base 10 correspond aux ppdi et rppdi classiques) sans tenir compte de la solution triviale commune 1.
Pour passer aux rppdi, nous appliquons S_p, non pas à n, mais à une puissance r (> 1) de n.
Rappelons qu'un nombre r-narcissique parfait ou rppdi ([12], [13], [OE5]) est un entier n (> 1) à p chiffres dont la puissance r > 1 (r = 1 correspondant aux classiques ppdi) est telle que la somme des puissances p de tous ses chiffres S_p(n) est égale au nombre n.
Alors qu'un ppdi à p chiffres est solution de n = S_p(n), un rppdi à p chiffres est solution de n = S_p(n^r) pour r > 1 .
Un rppdi est donc un point fixe à p chiffres de la transformation S_p^r
(4)   n ---> S_p^r(n) = S_p(n^r), r > 1,
un ppdi étant un point fixe à p chiffres de (4) mais avec r = 1.
Passons à une base b quelconque (2 < b < 10): n devient n_b (n_b = ∑_i=1^i=k a_i b^k-i) et on applique la transformation S_p^r à n_b; on cherche alors des points fixes de S_p^r(n_b), pour r = 1 (ppdi) ou r > 1 (rppdi).
Avec p = nombre de chiffres de n_b, noté alors p_b, on obtient les ppdi en base b ou ppdib, et les rppdi en base b ou rppdib; dans ce cas c'est le nombre n_b qui a p chiffres.
Avec p = nombre de chiffres de n, noté alors p₀, on obtient des points fixes de S_p^r que nous appellerons respectivement ppdi0 (r = 1) et rppdi0 (r > 1); dans ce cas c'est le nombre n qui a p chiffres.
Ajoutons que pour les ppdi, seuls les ppdib sont envisagés par les auteurs ([10], [OE4]).
Le caractère agréable des transformations S_p^r ([12], [13]) entraîne la finitude des ensembles d'entiers, {ppdib}, {ppdi0} d'une part, {rppdib}, {rppdi0} d'autre part; l'ensemble, fini lui aussi ([13]), de tous les points fixes de la transformation agréable S_p^r, contient les deux premiers pour r = 1 et les deux derniers pour r > 1.
Pour la finitude, on peut aussi s'inspirer de la démonstration générale de [14], et encadrer de tels nombres à k chiffres en base b par (puisque n^r < 10^kr):
  b^k-1 < n < rk(b-1)^k, avec r = 1 pour les ppdi et r > 1 pour les rppdi,
la borne inférieure étant le plus petit nombre à k chiffres, la borne supérieure étant l'image par S_k^r du plus grand.
On peut alors facilement montrer que pour tout b, et tout r, il existe un k*(b, r) tel que la borne inférieure soit strictement plus grande que la borne supérieure; il n'existera donc pas de solution pour k >= k*(b, r), ce qui assure le caractère fini de l'ensemble de ces nombres pour toute base (et tout r fini).
Par exemple, pour les rppdib, k*(10,1) = 61, k*(10,2) = 69, ..., k*(10,6) = 81, k*(9,1) = 53, k*(9,2) = 60, k*(9,3) = 64, ..., k*(8,2) = 51, k*(8,4) = 57, ...
Tous les ppdi aussi bien que tous les rppdi sont en nombre fini dans toutes les bases et les intervalles de définition correspondants sont [1, 10^k*(b,r)-1[, b > 2, r >= 1.
Les entiers communs aux deux ensembles {ppdib}, {ppdi0} respectivement {rppdib}, {rppdi0}, sont des n qui ont exactement le même nombre de chiffres que leur expression dans la base b concernée.
Pour être plus lisible nous donnerons tous les résultats en les exprimant en base décimale.
1 - Les PPDI
Les ppdi en base décimale ([10], [OE1]) et en base quelconque sous la forme des ppdib ([10], [OE4] en toute base) sont bien répertoriés dans la littérature, mais pas dans la version des ppdi0.
Naturellement, en base décimale, les ppdib et les ppdi0 s'identifient aux ppdi bien connus: on sait ([OE1]) qu'il en existe 88 dont: 1, ..., 9, 153, 370, 371, ..., 115132219018763992565095597973971522401.
Pour alléger les résultats concernant les ppdib, ppdi0 en base b, nous ne citons pas et nous ne comptabilisons pas les solutions triviales 1, 2, ..., b-1.
1 - 1 - Les PPDIB
Ici p = p_b.
Ce choix est celui adopté dans [10] comme dans [OE4].
Dans [2, 10⁹], les résultats, écrits en base 10, fournissent 101 solutions (non triviales).
b = 3, 3 solutions: 5, 8, 17.
b = 4, 8 solutions: 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243.
b = 5, 12 solutions: 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113, 1874374, 338749352.
b = 6, 12 solutions: 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, 36140, 269458, 391907, 10067135.
b = 7, 26 solutions: 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, 3222, 3612, 3613, 4183, 9286, 35411, 191334, 193393, 376889, 535069, 794376, 8094840, 10883814, 16219922, 20496270, 32469576, 34403018.
b = 8, 21 solutions: 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, 16819, 17864, 17865, 24583, 25639, 212419, 906298, 906426, 938811, 1122179, 2087646, 3821955, 13606405, 40695508.
b = 9, 19 solutions: 41, 50, 126, 127, 468, 469, 1824, 8052, 8295, 9857, 1198372, 3357009, 3357010, 6287267, 156608073, 156608074, 403584750, 403584751, 586638974 (voir [OE4] pour la liste complète).
Exemple: en base 6, on a 99 = 243_6, p = 3, S₃(243) = 2^3+4^3+3^3 = 99.
1 - 2 - Les PPDI0
Ici p = p₀.
Ce choix n'est, à notre connaissance, pas utilisé, mais il n'en est pas moins aussi naturel puisqu'il est associé au nombre de chiffres du n initial et non du transformé n_b. On obtient dans notre intervalle de recherche, 34 solutions telles que n et n_b aient même longueur (et donc communes aux deux ensembles {ppdib}, {ppdi0}).
Dans [2, 10⁹], les résultats, écrits en base 10, fournissent 43 solutions (non triviales).
b = 3, 0 solution.
b = 4, 0 solution.
b = 5, 3 solutions: 13, 18, 118.
b = 6, 2 solutions: 190, 251.
b = 7, 8 solutions: 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250.
b = 8, 15 solutions: 20, 52, 133, 307, 432, 433, 16819, 17864, 17865, 24583, 25639, 212419, 1122179, 2087646, 13606405.
b = 9, 15 solutions: 41, 50, 126, 127, 468, 469, 1824, 65538, 65539, 1198372, 3357009, 3357010, 5300099, 156608073, 156608074.
Exemple: en base 6, on a 251 = 1055_6_, p = 3, S₃(1055) = 1^3+5^3+5^3 = 251.
Dans notre intervalle de recherche [2, 10⁹] il y a 101 ppdib pour 43 ppdi0 ...
- REMARQUE 1
Pour toute base b de 2 à 10, pour les ppdib et les ppdi0, si une solution s (exprimée en base 10) est divisible par b, alors nécessairement s+1 est aussi solution (pour les ppdib, citons 370, 371 en base 10, 28, 29 en base 4, ..., 468, 469 en base 9; pour les ppdi0 il y a ceux communs avec les ppdib mais aussi 65538, 65539 en base 9).
2 - Les RPPDI
Dans ([12], [13]), les rppdi ont été définis et la liste ([OE5]) des 15 premiers rppdi plus grands que 1 en base décimale, a été donnée (on écrit 8(3) pour la solution 8 avec r = 3):
  7(4), 8(3), 9(2);
  180(6), 205(2);
  38998(2), 45994(2), 89080(2);
  726191(2);
  5540343(3), 7491889(2), 8690141(3);
  167535050(3), 749387107(4);
  9945245922(3).
On va déterminer ici les représentants en base b (2 < b < 10) pour les deux choix de p ([15]).
On observera que dans [2, 10⁹] il y a 17 rppdib pour 47 rppdi0 ...

2 - 1 - Les RPPDIB
Avec p = p_b, les résultats, écrits en base 10, donnent 17 solutions dans [2, 10⁹]:
(la solution 10 pour r = 2 sera notée 10(2))
b = 3 possède 1 solution: 10(2).
b = 4 possède 0 solution.
b = 5 possède 1 solution: 6(2).
b = 6 possède 1 solution: 30(3).
b = 7 possède 2 solutions: 33(2);
  56(3).
b = 8 possède 6 solutions: 16(2), 41(2), 129(2), 432(2), 9808(2);
  7(4).
b = 9 possède 6 solutions: 42(2), 684(2), 52777(2);
  8(3);
 7(4), 468(4).

Exemple: 9808 = 23120_8, p = 5, r = 2, 23120^2 = 534534400, S₅(534534400) = 5^5+3^5+4^5+5^5+3^5+4^5+4^5 = 9808.
2 - 2 - Les RPPDI0
Avec p = p₀, les résultats, écrits en base 10, donnent 47 solutions dans [2, 10⁹]:
b = 3 possède 5 solutions: 4(2), 33(2), 95(2), 5121(2);
 7294(3).
b = 4 possède 20 solutions:
  9(2), 33(2), 129(2), 480(2), 640(2), 736(2), 34816(2), 69666(2), 2129920(2), 4259970(2), 134742016(2), 269484546(2), 335028856(2);
  8(3), 20(3), 512(3), 32768(3), 2097152(3), 134217728(3);
  8(9).
b = 5 possède 1 solution: 81748(4).
b = 6 possède 2 solutions: 90646(2);
  30(3).
b = 7 possède 5 solutions: 9(2), 33(2), 9667(2), 68266(2);
  8(3).
b = 8 possède 6 solutions: 16(2), 41(2), 129(2), 432(2);
  977797(3);
  7(4).
b = 9 possède 8 solutions: 42(2), 684(2), 9778(2), 52777(2), 8767684(2);
  8(3);
  7(4), 468(4).
Exemple: 9667 = 40120_7, p = 4, r = 2, 40120^2 = 1609614400, S₄(1609614400) = 1^4+6^4+9^4+6^4+1^4+4^4+4^4 = 9667.
Comme pour les ppdi, les solutions n de même longueur que le n_b associé, sont communes aux deux ensembles {rppdib}, {rppdi0}, il y en a 13 dans notre intervalle de recherche.
Les résultats obtenus avec nos deux choix permettent d'observer quelques pathologies.
- PROPRIETE 1
1) Parmi les rppdi0, il existe une solution n avec deux r différents pour b = 4: 8(3) et 8(9) (ceci répond à une question implicitement posée dans [14] concernant les rppdi en base décimale et l'unicité du r d'une solution).
2) Parmi les rppdi0, on a 3 fois la solution 33(2): en bases 3, 4 et 7.
3) Pour la base b = 4, il n'y a pas de solution de type rppdib et 20 solutions de type rppdi0 dans l'intervalle de recherche [2, 10⁹].
La base 4 apparaît comme la plus prolifique pour les rppdi0.
4) La solution n = 8 apparaît 4 fois dans les rppdi0 (2 < b < 10) dont 3 fois avec r = 3:
8(3) et 8(9) pour b = 4; 8(3) pour b = 7; 8(3) pour b = 9.
5) Parmi les rppdib et les rppdi0, la solution n = 7 apparaît 2 fois: avec b = 8 et b = 9 et chaque fois avec r = 4.
6) Les diverses propriétés de 8:
8 est égal à la somme des chiffres de son cube (512).
8 est égal à la somme des chiffres du cube de son expression en base 4 (qui est 8000).
8 est égal à la somme des chiffres de la puissance 9 de son expression en base 4 (qui est 512.10^9).
8 est égal à la somme des chiffres de la puissance 3 de son expression en base 7 (qui est 1331).
- REMARQUE 2
Après l'ensemble fini des {rppdi} ([12], [13], [14], [OE5]) qui possède, en base décimale, 15 représentants dans [2, 10^10], nous avons défini trois nouveaux ensembles finis de nombres de type narcissique dans les bases de 3 à 9, {ppdi0}, {rppdib} et {rppdi0}. Dans l'intervalle [2, 10^9], ils possèdent, respectivement, 43, 17 et 47 éléments.
3 - Les PPDI et RPPDI INVERSES
Nous utilisons la définition des ppdi inverses au sens de [10] (inverse narcissistic numbers).
Pour traiter les ppdi et les rppdi inverses en base de 2 (ici la base 2 peut avoir une ou des solutions non triviales) à 10, on associe à n (nombre à k chiffres notés a_i, a₁ > 0), son transformé en base b, n_b, puis sa puissance (n_b)^r, r >= 1, cette dernière étant un nombre à m chiffres (notés c_i), et enfin la somme des m^c_i pour i de 1 à m, ou la somme des k^c_i pour i de 1 à m.
Pour r = 1, dans le premier cas on obtiendra des ppdi inverses notés Ippdib, et dans le second on parlera des Ippdi0.
Pour r > 1, dans le premier cas on obtiendra les Irppdib et dans le second les Irppdi0.
Dans [2, 10^7] il y a 24 Ippdib et 14 Ippdi0; 9 sont communs aux deux ensembles (4624, 117, 135, ..., 335671) car ils ont le même nombre de chiffres que leur transformé n_b dans la base correspondante (k = m).
- Les Ippdib (cf.[10])
b = 10: 4624;
b = 2: 10, 13;
b = 3: 3, 4, 8;
b = 4: 6, 39;
b = 5: 33, 117;
b = 6: 57, 135, 340, 3281;
b = 7: 10, 32, 245, 261;
b = 8: 355747;
b = 9: 85, 335671, 840805, 842821, 845257;
- Les Ippdi0
b = 10: 4624;
b = 2: 2;
b = 3: pas de solution;
b = 4: pas de solution;
b = 5: 117;
b = 6: 135;
b = 7: 10, 32, 245, 261;
b = 8: 20, 4118, 4358, 93826;
b = 9: 335671, 5901764;

Dans [2, 10^7] il y a 6 Irppdib et 115 Irppdi0 ...
- Les Irppdib (r > 1)
b = 10: pas de solution;
b = 2: pas de solution;
b = 3: 9(2) ;
b = 4: pas de solution;
b = 5: 5(2); 25(6);
b = 6: 37(2);
b = 7: 7(3);
b = 8: pas de solution;
b = 9: 9(4);

- Les Irppdi0 (r > 1)
b = 10: 2(4); 2(5), 3(5), 4(5); 2(6), 3(6), 4(6), 5(6); 5(7), 6(7); 7(8), 8(8), 10(8); 9(9);
b = 2: 3(2), 5(2), 12(2), 8774957(2); 7(3); 32(6);
b = 3: 3(2), 10(2), 171(2); 4(3); 2(4), 5(4), 6(4), 9(4); 2(5), 7(5); 2(6);
b = 4: 36(2) 4624(2); 4(3); 2(4), 5(4); 2(5), 3(5), 6(5); 2(6), 3(6), 7(6), 8(6); 16(7);
b = 5: 2(4), 5(4); 2(5), 3(5), 4(5), 6(5); 2(6), 3(6), 4(6), 7(6); 8(7), 9(7);
b = 6: 41(2), 3378(2); 2(4); 2(5), 3(5), 4(5), 6(5); 2(6), 3(6), 4(6), 5(6), 7(6); 5(7), 8(7); 9(8);
b = 7: 23(2); 2(4); 2(5), 3(5), 4(5), 28(5); 2(6), 3(6), 4(6), 5(6), 7(6); 5(7), 6(7), 8(7); 9(8);
b = 8: 45(2); 2(4); 2(5), 3(5), 4(5); 2(6), 3(6), 4(6), 5(6); 5(7), 6(7), 8(7); 7(8), 9(8);
b = 9: 18(2), 41(2), 2837(2); 2(4); 2(5), 3(5), 4(5); 2(6), 3(6), 4(6), 5(6); 5(7), 6(7); 7(8), 8(8), 9(8).

- A2 - NOMBRES de ARMSTRONG de DEUXIEME ESPECE et VARIANTES -

Les nombres de Armstrong de deuxième espèce ([OE2]) sont définis par la somme des puissances i des chiffres a_i de n:
(5)  A₂(n) = ∑_i=1^k (a_i)ⁱ.
Pour passer à une base quelconque b, on transformera n en n_b et on appliquera (5) à ce dernier.
En s'inspirant de la démonstration générale de [14], on peut encadrer de tels nombres à k chiffres en base b par:
b^k-1 < n < A₂(n*),
la borne inférieure étant le plus petit nombre à k chiffres, la borne supérieure étant l'image par A₂ du plus grand noté n*.
Comme A₂(n*) = ∑ _i=1^k (b-1)^k = ((b-1)^k+1-(b-1))/(b-2),
on peut facilement montrer que pour tout b > 2, il existe un k*(b) tel que la borne inférieure soit strictement plus grande que la borne supérieure; il n'existe donc pas de solution pour k >= k*(b), ce qui assure le caractère fini de l'ensemble de ces nombres pour toute base > 2.
Pour b = 2, on peut montrer immédiatement qu'il n'y a pas de solution en dehors des triviales 0 et 1: il suffit d'écrire A₂(n) = n avec n = 2^k-1a₁ + ... + a_k.
On exprimera ici toutes les solutions non nulles plus grandes que 1 en oubliant la solution triviale 1.
Pour la base décimale on obtient k* = 23, les solutions ont donc au plus 22 chiffres; on obtient 18 solutions ([OE2]):
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798, 12157692622039623539.
Dans [2, 10^8], on obtient comme nombres de Armstrong de type 2 en base b de 2 à 9:
b = 2: pas de solution.
b = 3: 2 solutions: 2, 5.
b = 4: 5 solutions: 2, 3, 11, 83, 91.
b = 5: 8 solutions: 2, 3, 4, 19, 28, 259, 1114, 81924.
b = 6: 5 solutions: 2, 3, 4, 5, 29.
b = 7: 13 solutions: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 18, 41, 74, 81, 382, 1336, 1343.
b = 8: 9 solutions: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 55, 8430, 46806.
b = 9: 15 solutions: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 71, 4445, 17215, 17621783, 59228332.
- LES R-NOMBRES A2
En appliquant A₂ à n^r, pour r > 1, on déterminera des r-nombres de Armstrong de deuxième espèce.
On sait que le nombre de chiffres d'un entier N est ent(log N) + 1. Dans l'expression du A₂(n*) précédent, il suffira de remplacer k (nombre de chiffres de n) par k_r = E(rlog n) + 1 (nombres de chiffres de n^r) pour conclure au caractère fini de l'ensemble des r-nombres de Armstrong de deuxième espèce en base b > 2.
En revanche, pour b = 2 et r = 2, on peut montrer que l'on a (en dehors des solutions triviales 0 et 1) une infinité de solutions de la forme 2^k + 2 pour tout k >= 2. En effet, 2^k + 2 = (10^k + 10)_2, (10^k + 10)² = 10^k + 10² + 2.10^k+1 et donc A₂((10^k + 10)²) = 1 + 1 + 2^k.
Dans [2, 10^8] on a les résultats suivants pour les solutions non triviales, où on observe que, sauf en base 4 (qui n'a que 2 solutions et avec r = 3), toutes les solutions correspondent à r = 2 (pas d'autre solution avec 2 < r < 7):
b = 10: 3 solutions: 9(2), 21(2), 61(2).
b = 2: infinité de solutions 2^k + 2 pour tout k >= 2 .
b = 3: 2 solutions: 10(2), 21(2).
b = 4: 2 solutions: 8(3), 272(3).
b = 5: 2 solutions: 6(2), 405(2).
b = 6: pas de solution.
b = 7: pas de solution.
b = 8: pas de solution.
b = 9: pas de solution.
On notera, la finitude des solutions pour r = 1 en toute base et pour r = 2 ou 3 pour les bases supérieures à 2; l'exception est la famille infinie de solutions pour b = 2 et r = 2.

- VARIANTE en PUISSANCES DECROISSANTES des a_i
Considérons (comme dans [10]) une variante de A₂ en puissances décroissantes des a_i:
(6)  A*₂(n) = ∑_i=1^k (a_i)^k-i+2.
En suivant [14], nous pouvons encadrer les solutions cherchées (solutions n dont le transformé n_b possède k chiffres):
 b^k-1 < n < A*₂(n*),
 A*₂(n*) = ((b-1)^k-1)(b-1)² /(b-2).
Il existe donc, ici aussi pour b > 2, un k*(b) tel que la borne inférieure soit strictement plus grande que la borne supérieure, ce qui assure le caractère fini de l'ensemble de ces nombres pour toute base (la base b = 2 n'ayant pas de solution).
Par exemple k*(10) = 44, k*(9) = 38, ...(cf.[10]).
Dans [2, 10^8], nous obtenons:
b = 10: 3 solutions: 24, 1676, 4975929.
b = 2: pas de solution.
b = 3: 4 solutions: 5, 20, 24, 25.
b = 4: 7 solutions: 8, 9, 28, 29, 819, 827, 983.
b = 5: 3 solutions: 12, 44, 65874.
b = 6: pas de solution.
b = 7: 4 solutions: 10, 17, 81, 181.
b = 8: 5 solutions: 256, 257, 1683844, 1683861, 1685962.
b = 9: 9 solutions: 27, 28, 126, 127, 297, 298, 2805, 3525, 4118.
Exemple: b = 7, 81 = 144_7, k = 3, 1^4+4^3+4^2 = 81.
On notera que les seules solutions communes à A2 et A2* sont 1676 en base décimale, 10 et 81 en base 7 et 5 en base 3.
On peut essayer d'appliquer A*₂ à n^r, pour r > 1, mais dès r = 2, il y a croissance sricte puisque le nombre de chiffres de n_b^r ne peut jamais décroitre et donc il n'y a pas de solution.

- A3 - NOMBRES de ARMSTRONG de TROISIEME ESPECE et VARIANTES -

Les nombres de Armstrong de troisième espèce, ou nombres de Münchhausen ([3], [5], [OE3]), ou pddi, sont définis par la somme des puissances a_i des chiffres a_i de n:
(7)  A₃(n) = ∑_i=1^k (a_i)^a_i.
Pour passer à une base quelconque b, on transformera n en n_b et on appliquera (7) à ce dernier.
En s'inspirant de [14], on peut encadrer de tels nombres à k chiffres en base b par:
 b^k-1 < n < A₃(n*),
la borne inférieure étant le plus petit nombre à k chiffres, la borne supérieure étant l'image par A₃ du plus grand.
Comme A₃(n*) = k(b-1)^b-1,
on peut facilement montrer que pour tout b, il existe un k*(b) tel que la borne inférieure soit strictement plus grande que la borne supérieure; il n'existe donc pas de solution pour k >= k*(b), ce qui assure le caractère fini de l'ensemble de ces nombres pour toute base.
Pour la base décimale, on obtient k*(10) = 11, les solutions auront donc au plus 10 chiffres et le calcul nous permettra facilement de conclure.
Pour b = 3 à 9 nous avons k*(9) = 10, k*(8) = 9, k*(7) = 8, ...; pour obtenir toutes les solutions, il suffira donc d'effectuer les calculs dans [2, 10^9].
En base 10, on vérifie donc (comme [4], [8], [10], [11]) que le seul nombre de Münchhausen non trivial (soit plus grand que 1) est 3435, en adoptant classiquement 0⁰ = 1 (avec le choix 0⁰ = 0, il y aurait aussi 438579088 [OE3]).
Pour les autres bases on obtient toutes les solutions non triviales:
b = 2: 2.
b = 3: 5, 8.
b = 4: 29, 55.
b = 5: pas de solution.
b = 6: 3164, 3416.
b = 7: 3665.
b = 8: pas de solution.
b = 9: 28, 96446, 923362.
- LES R-NOMBRES A3
Nous définirons aussi des nombres r-Münchhausen en base b, notés rpddib, en appliquant A₃ à la puissance r (> 1) de n_b.
Pour la base décimale, on peut montrer facilement que l'on a une famille de solutions:
  10(9), 1000(333), 10^9(111111111), 10^27(37037037037037037037037037), 10^81(A0A0A0A0A0A0A0A0A), ...
(où A représente 12345679 pour alléger l'écriture des 80 chiffres)
soit une solution 10^(3^q)), avec r = (10^m -1)/m, m = 3^q pour tout q >= 0.
Observons que ces solutions disparaissent si l'on fait le choix (non classique) 0^0 = 0, en même temps, d'ailleurs, que la solution 438579088 apparaît pour r = 1 ...
Pour les autres bases, dans l'intervalle [2, 10^9], nous obtenons (avec toujours la notation 10(9) pour 10 avec r = 9):
b = 2: 10(2), 342(2).
b = 3: 3(2), 39(2), 9(4).
b = 4: 4(3).
b = 5: 6(2), 5(4).
b = 6: 6548(2), 6(5).
b = 7: 7(6).
b = 8: 8(7).
b = 9: 827479(2), 458706356(3), 811989390(4), 510205626(6), 105078771(7).
- PROPRIETE 2
Il y a, en base décimale, un seul nombre de Münchhausen non trivial, 3435, et pour r > 1 une unique famille de nombres r-Münchhausen, 10^(3^q) pour tout q >= 0; parmi les autres bases, b = 9 apparaît comme la plus riche.

- A4 - NOMBRES de ARMSTRONG de QUATRIEME ESPECE et VARIANTES -

Les nombres de Armstrong de quatrième espèce sont définis par la somme des puissances q des chiffres de n (nombre à k chiffres), pour q quelconque positif:
(8)  A₄(n) = S_q(n) = ∑_i=1^i=k a_i^q, q>=1.
Pour passer à une base quelconque b, on transformera n en n_b et on appliquera (8) à ce dernier.
Rappelons que cette transformation A₄, appliquée à n aussi bien qu'à n^r est une transformation agréable ([12], [13]), et qu'elle possède ainsi un nombre fini d'attracteurs et donc en particulier de points fixes.
Pour cette finitude on peut aussi écrire pour une solution à p chiffres
  b^p-1 < n < p(b-1)^q,
et en déduire qu'il existe toujours un p*(q, b) tel que la borne inférieure dépasse la borne supérieure; il n'y a donc pas de solution à p chiffres, pour p >= p*.
Pour toute base, on a toujours la solution triviale 1 pour tout choix de q, et pour q = 1 on a comme solutions triviales tous les chiffres de 1 à b-1 (qui sont d'ailleurs des nombres de Niven triviaux [14]). En base décimale, pour q > 1, tous les cas q = k donnent, en particulier, les nombres de Armstrong de première espèce ou ppdi de longueur k (avec q = 5, on obtient les ppdi (de longueur 5) 54748, 92727, 93084, mais aussi les solutions 4150, 4151, 194979).
En base b quelconque, toutes les solutions n avec un q égal au nombre de chiffres de n_b redonnent les ppdi en base b (ppdib) correspondants; toutes celles avec un q égal au nombre de chiffres de ce n s'identifient au ppdi0 correspondant en base b.
Exemples: pour b = 6, q = 3, on obtient les solutions 99, 190 et 251:
99 = 230_6 (de longueur 3) est ppdib; 190 = 514_6 (de longueur 3) est ppdib; alors que 251 = 1055_6 (de longueur 4) n'est pas ppdib, en revanche 251 (de longueur 3) est ppdi0.
En base 6 avec q = 5, la solution 308 = 1232_6, qui vérifie bien 1^5+2^5+3^5+2^5=308 n'est ni un ppdib, ni un ppdi0.
Nous ne donnerons plus bas que les solutions non triviales pour q > 1 dans [2, 10^9].
- Base décimale:
q = 2: pas de solution.
q = 3: 153, 370, 371, 407.
q = 5: 4150, 4151, 54748, 92727, 93084, 194979.
q = 6: 548834.
q = 7: 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 14459929.
q = 8: 24678050, 24678051, 88593477.
q = 9: 146511208, 472335975, 534494836, 912985153.
- Bases b:
b = 9:
q = 2: 41, 50.
q = 3: 27, 28, 126, 127, 468, 469, 1052.
q = 4: 353, 1824.
q = 5: 243, 244, 8052, 8295, 9857, 65538, 65539.
q = 6: 36804.
q = 7: 2187, 2188, 1198372, 3357009, 3357010, 5300099.
q = 8: 6287267.
q = 9: 19683, 19684, 10097892, 10097893, 10117575, 10117576, 156608073, 156608074.
q = 10: 403584750, 403584751, 586638974.

b = 8:
q = 2: 20, 52.
q = 3: 92, 133, 307, 432, 433.
q = 4: 16, 17, 256, 257, 272, 273.
q = 5: 1056, 1057, 2323, 16819, 17864, 17865, 24583, 25639.
q = 6: 212419.
q = 7: 128, 129, 16384, 16385, 16512, 16513, 906298, 906426, 938811, 1122179, 2087646.
q = 8: 13379, 65792, 65793, 3821955, 13606405.
q = 9: 40695508.
q = 10: 1024, 1025, 1048576, 1048577, 1049600, 1049601.

b = 7:
q = 2: 10, 25, 32, 45.
q = 3: 16, 133, 134, 152, 250.
q = 5: 65, 1542, 3190, 3222, 3612, 3613, 4183, 9286.
q = 6: 35411.
q = 7: 37271, 191334, 193393, 376889, 535069, 794376.
q = 8: 72865.
q = 9: 2236488, 3021897, 4431562, 8094840, 10883814, 16219922, 20496270, 32469576, 34403018.
q = 10: 1110699, 9885773.

b = 6:
q = 2: pas de solution.
q = 3: 99, 190, 251.
q = 4: pas de solution.
q = 5: 308, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197.
q = 6: 36140.
q = 7: 269458.
q = 8: 391907.
q = 9: 10067135.

b = 5:
q = 2: 13, 18.
q = 3: 28, 118, 289, 353, 419.
q = 4: 289, 353, 419.
q = 5: 308.
q = 6: 4890, 4891, 9113.
q = 7: 257.
q = 8: 66562.

b = 4:
q = 2: pas de solution.
q = 3: 28, 29, 35, 43, 55, 62.
q = 4: 83, 243.
q = 5: 32, 33.
q = 6: 922.
q = 7: 128, 129, 2316, 2317, 2444, 2445, 2571, 2699.
q = 8: 7330, 13124, 13125.
q = 9: 512, 513, 20710, 21222, 40392, 40393.

b = 3
q = 2: pas de solution.
q = 3: 17.
q = 4: pas de solution.
q = 5: 33, 34, 65.
q = 6: 66, 67, 131.
q = 7: 386, 512.
q = 8: 258, 259.
q = 9: 513, 514, 2049, 2050.
q = 10: 1026, 1027, 3075, 3076, 4100.
Enonçons une propriété commune, en toute base, aux A_i, i = 1 à 4, et A*₂, lorsqu'on les applique à n (et pas à n^r, r > 1).
- PROPRIETE 3
Pour une base quelconque b, si un point fixe m (> 9) d'une application A_i (i = 1 à 4) ou A*₂ est un multiple de b, alors m + 1 est aussi point fixe de cette application.
En effet, si m = 0(b), m_b se termine par un 0 (dans m_b = ∑_i=1^i=k a_i b^k-i on aura a_k = 0), et si m est solution de l'une de ces applications, m + 1 l'est aussi puisque a_k deviendra égal à 1 dans chaque cas et le restera à une puissance quelconque.
Exemples: 370, 371 en base 10 pour les ppdi; 28, 29 en base 4 pour les ppdib; 156608073, 156608074 en base 9 pour les ppdi0; 1026, 1027 pour q = 10 en base 3 des A₄; 256, 257 en base 8 pour les A*₂, ....
Pour les résultats calculés ici, seuls A₁ (ppdib et ppdi0), A₄ et A*₂ font apparaître de tels doublons de solutions consécutives (m, m + 1), mais ils sont aussi théoriquement possibles dans les cas A₂ et A₃.
- LES R-NOMBRES de ARMSTRONG de QUATRIEME ESPECE
On cherche les solutions dans [2, 10^7] pour r de 2 à 5 inclus et q de 2 à 6 inclus.
- Base décimale
q = 1: 9(2).
q = 2: 203(3);
  130(4), 235(4);
  294(5), 454(5).
q = 3: 205(2);
  1778(3), 1846(3), 2007(3), 2091(3), 2575(3), 2683(3), 2749(3);
  2110(4);
  2668(5), 3269(5), 4047(5), 4639(5), 5822(5).
q = 4: 12277(2);
  17208(3);
  22936(4), 30941(4);
  36234(5), 39631(5).
q = 5: 38998(2), 45994(2), 89080(2), 128230(2), 244353(2);
  137023(3), 163451(3), 192412(3), 233722(3);
  227047(5), 292682(5).
q = 6: 726191(2);
  3360688(4).
q = 7: 7491889(2);
  5540343(3), 8690141(3).
Notons que pour q >= 2 et r >= 2, il existe divers cycles (d'ordres assez bas) très attractifs comme, par exemple:
q = 2, r = 2: C₃(175, 74, 126) et C₅(146, 51, 41, 102, 33);
  r = 3: C₇(351, ..., 132);
  r = 5: C₁₂(555, ..., 345);
  r = 7: C₂₈(677, ..., 608).
q = 3, r = 3: C₈(2694, ..., 1857);
  r = 4: C₂₈(4039, ..., 2968).
q = 4, r = 2: C₄₃(27589, ..., 17126);
  r = 3: C₇₅(38421, ..., 9688).
- Base b = 9
q = 2: 42(2);
  130(3), 211(3);
  113(4).
q = 3: 10(2), 684(2), 1171(2), 2316(2);
  2054(3);
  468(4).
q = 4: 9778(2), 10019(2), 13429(2), 22534(2);
  24502(3);
  25879(4).
q = 5: 52777(2), 168298(2), 191154(2);
  178310(3), 314431(3);
  248550(4).
q = 6: 1459853(2);
  1193922(3), 1787467(3);
  1112794(4).
- Base b = 8
q = 2: 16(2), 41(2);
  240(4), 244(4);
  130(5), 335(5), 452(5).
q =3: 129(2), 432(2), 1252(2), 1486(2), 2878(2);
  2697(4);
  1600(5).
q = 4: 20404(2);
  16660(3), 22919(3), 24851(3).
q = 5: 1024(2), 9808(2);
  172871(3), 267771(3);
  283437(4), 418093(4).
q = 6: 8193(2);
  997797(3), 1885315(3).
- Base b = 7
q = 1: 9(2), 13(2), 16(2), 18(2).
q = 2: 33(2);
  430(4);
  370(5).
q = 3: 1198(2), 1488(2), 1789(2);
  56(3), 1393, 3082;
  2666(5), 5941(5).
q = 4: 9667(2);
  20441(3), 20903(3);
  27080(4), 49101(4);
  20957(5), 31005(5), 37851(5).
q = 5: 68266(2), 136462(2), 145612(2);
  188060(3), 20229(3), 257030(3);
  199636(4), 222090(4);
  182530(5).
q = 6: 1769514(3);
  2875607(4).
- Base b = 6
q = 2: 162(2), 370(2);
  30(3);
  204(5), 347(5), 526(5).
q = 3: 3295(4), 3721(4).
q = 4: 18146(3), 30680(3).
q = 5: 90646(2), 102025(2), 304462(2);
  115989(4);
  214998(5).
q = 6: 3539379(5), 4158968(5), 4765761(5), 4990132(5).
- Base b = 5
q = 1: 16(2), 18(2).
q = 2: 6(2);
  349(3);
  135(4), 393(4), 442(4);
  366(5), 514(5).
q = 3: pas de solution.
q = 4: 27623(2), 28920(2);
  32681(3);
  36303(5).
q = 5: 250162(2);
  81748(4), 407977(4), 441432(4);
  196446(5), 398925(5), 468905(5).
q = 6: 1813686(3).
- Base b = 4
q = 1: 9(2), 31(2).
q = 2: 33(2);
  20(3);
  220(5).
q = 3: 129(2), 480(2), 640(2), 736(2), 1290(2), 1767(2), 2527(2);
  512(3), 1568(3), 1590(3), 3363(3);
  2596(4), 4197(4), 7449(4);
  2401(5).
q = 4: 513(2), 14582(2), 26214(2);
  20796(3), 25562(3);
  35404(4);
  48741(5), 61015(5).
q = 5: 2049(2), 34816(2), 69666(2), 126814(2), 250069(2), 369208(2);
  32768(3), 154340(3), 184160(3), 280617(3), 306988(3), 322899(3), 363829(3);
  432984(4), 540441(4);
  465037(5).
q = 6: 8193(2), 98452(2);
  3889906(3).
- Base b = 3
q = 1: 4(2), 16(2), 25(2).
q = 2: 33(2), 95(2), 103(2), 314(2);
  168(3), 539(3);
  662(4).
q = 3: 10(2), 1255(2), 1327(2), 3291(2);
  8743(5).
q = 4: 513(2), 786(2), 5121(2), 19354(2);
  7294(3), 33728(3);
  46211(4), 70327(4).
q = 5: 318436(2);
  458242(3) ;
  171369(4), 728215(4);
  360102(5).
q = 6: 1692632(2), 2609974(2), 3619644(2);
  2224102(3), 4677746(3);
  7963414(5).
- Base b = 2
q = 2: 6(2);
  20(3), 687(3);
  734(4).
q = 3: 10(2), 199(2);
  6936(4), 7644(4);
  11607(5).
q = 4: 18(2), 453(2), 677(2);
  35986(3);
  121927(5).
q = 5: 34(2), 5899(2), 108250(2).
q = 6: 66(2), 1052(2).

- CAS SPECIFIQUE q = 2, r < 11
Le cas q = 2 s'identifie au type (t, r), avec t = 0, r >= 2 de [14].
Parmi les nombres de Niven de type (t, r) décrits dans [14], le cas particulier t = 0 et r >= 2 (qui ne définit pas des nombres de Niven) nous a permis de retrouver certains nombres remarquables de [12], toutes ces déterminations ayant été faites uniquement en base 10. On avait pu remarquer par exemple qu'en base 10 pour r = 3 et 4 on retrouve des propriétés de 203, 130 et 235 ([12], [14]). Ce cas permet donc de retrouvrer les nombres remarquables ([12], [14]) de la base 10, mais aussi d'aller plus loin ; on donnera ici les résultats de r = 2 à 10 pour toutes les bases.
Pour la base 10, on ira beaucoup plus loin dans la liste des nombres remarquables exprimée dans [12] (le plus grand était 10248 pour r = 96) en considérant des r jusqu'à 1730.
Il est en effet plus facile de chercher (comme ici) les points fixes de x --> S₂(x^r) plutôt que ceux de x --> (S₂(x))² (cf.[12]).
Pour une base b quelconque, on pourra encadrer les solutions à p chiffres de ce cas q = 2 :
  b^p-1 < n < rp(b-1)²,
et en conclure qu'il existe toujours un p*(r, b) à partir duquel il n'y a pas de solution (d'où la finitude des solutions).
Ainsi, par exemple, on montre que p*(1000, 10) = 7 et donc que toutes les solutions correspondantes appartiennent à [1, 10^6[ ce qui permet d'obtenir la propriété suivante.
- Propriété 4
146715 est le plus petit entier (> 1) qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 1000 (un nombre de 5167 chiffres)
Pour les autres bases < 10, pour r = 100, on a au plus p* = 6 et donc tous nos résultats concernant des r < 11 donnent toutes les solutions pour les choix proposés (1 < r < 11, 1 < b < 11); en particulier, chaque fois qu'il y aura une seule solution (autre que la solution triviale 1) pour un certain r, elle sera unique et définiera un nombre remarquable (au sens de [12]); ces solutions sont soulignées dans la liste suivante.
b = 10: 203(3); 130(4), 235(4); 294(5), 454(5); 376(7), 538(7); 754(8); 230(9), 504(9), 875(9); 853(10); ..., 1882(16); ..., 7249(62); ..., 10248(96); ..., 52951(400); ..., 100124(700); ..., 146715(1000); ..., 172002(1150); ..., 265252(1730); ...
b = 9: 42(2); 130(3), 211(3); 113(4); 172(5), 306(5), 508(5); 244(6), 263(6), 493(6); 406(7), 537(7); 607(8); 1122(9); 856(10).
b = 8: 16(2), 41(2); 240(4), 244(4); 130(5), 335(5), 452(5); 609(7), 715(7), 922(7); 504(9), 638(9), 727(9), 837(9), 1127(9); 538(10), 703(10).
b = 7: 33(2); 430(4); 570(5); 205(7), 639(7); 676(8), 1082(8); 793(9).
b = 6: 162(2), 370(2); 30(3); 204(5), 347(5), 526(5); 498(7), 662(7), 921(7); 955(8); 817(9); 1087(10), 1139(10).
b = 5: 6(2); 349(3); 135(4), 393(4), 442(4); 366(5), 514(5); 130(6), 310(6), 789(6); 590(9); 1041(10), 1211(10), 1398(10).
b = 4: 33(2); 20(3); 220(5); 668(6), 686(6), 798(6); 608(8); 961(9); 672(10).
b = 3: 33(2), 95(2), 103(2), 314(2); 168(3), 539(3); 662(4); 916(6); 1157(7), 1171(7), 1373(7); 1273(8); 1268(9).
b = 2: 6(2); 20(3), 687(3); 734(4); 130(6); 1839(7); 2468(10).
Ajoutons que, toutes les solutions étant connues, les valeurs de r, pour un b donné, qui n'ont pas de représentant donnent aussi une information: par exemple, pour b = 10, il n'existe pas de nombre n (> 1) égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 6, ni à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 1200; pour b = 7, il n'existe pas de n égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 10, ...

- A5 - NOMBRES de ARMSTRONG de CINQUIEME ESPECE et VARIANTES -

Nous appellerons nombres de Armstrong de cinquième espèce, des nombres n (à k chiffres) définis par la puissance q de la somme de leurs chiffres S₁ (notée ici simplement S), pour q quelconque positif:
(9)  A₅(n) = (S(n))^q = (∑_i=1^i=k a_i)^q, q >= 1.
Pour passer à une base quelconque b, on transformera n en n_b et on appliquera (9) à ce dernier.
Nous pourrons comparer pour un même q les A4 et A5 et observer que ces derniers, en base décimale, sont des nombres de Niven (type(t,r) de [14] avec t = q et r = 0); on pourra parler de nombres de Armstrong-Niven pour ce cas A5 en base 10.
On a montré dans [14] que ces nombres forment un ensemble fini et on sait exactement les calculer au moins pour q = 1 à 6 (voir §4 de [14]).
Pour la base décimale on se rapportera à [14]; par exemple pour q = 4, on aura exactement 6 solutions: 1, 2401, 234256, 390625, 614656, 1679616 (Propriété 10 de [14]).
Considérons ces nombres en base quelconque b (ce que nous n'avions pas fait dans [14]).
Pour q = 1 il n'y a que les solutions triviales de 1 à (b-1); pour tout q > 1 on a toujours la solution triviale 1.
On peut encadrer de tels nombres à p chiffres en base b:
  b^p-1 < n < (p_b(b-1))^q,
où p_b (>= p) est le nombre de chiffres du transformé n_b de n.
Il existera toujours un p*(q) à partir duquel la borne inférieure sera plus grande que la supérieure et donc toutes solutions auront au plus p*(q)-1 chiffres.
Par exemple pour b = 6, q = 3, on obtient p* = 9.
Dans [2, 10^9] nous obtenons comme solutions non triviales:
Base b = 9:
q = 2: 64.
q = 3: 343, 3375, 4096, 12167, 32768.
q = 4: 83521, 1048576.
q = 5: 243, 4084101, 9765625, 39135393, 52521875, 229345007.
q = 6: 16777216, 191102976.
q = 7: 2187.
q = 8: pas de solution.
q = 9: 19683.
Base b = 8:
q = 2: 49.
q = 3: 216, 2197, 2744.
q = 4: 16, 256, 50625, 390625.
q = 5: 537824, 5153632.
q = 6: pas de solution.
q = 7: 128, 16384, 35831808, 1280000000.
q = 8, 9: pas de solution.
Base b = 7:
q = 2: 16, 36, 81, 144.
q = 3: 64, 512, 729, 1331, 1728, 3375, 4096.
q = 4: 10000, 20736, 65536, 104976, 130321, 331776, 390625.
q = 5: 2476099, 5153632, 11881376, 20511149, 24300000, 39135393.
q = 6, 7, 8, 9: pas de solution.
Base b = 6:
q = 2: 25, 100.
q = 3: 729, 1331, 3375, 4096.
q = 4 : 65536, 160000, 456976.
q = 5 : 2476099, 4084101, 5153632, 9765625, 17210368.
q = 6: 15625, 85766121.
q = 7, 8, 9: pas de solution.
Base b = 5:
q = 2: 16, 64.
q = 3: 27, 512, 729, 1728, 2197.
q = 4: 6561, 20736, 28561, 65536.
q = 5: 161051, 1048576, 6436343, 7962624.
q = 6, 7, 8, 9: pas de solution.
Base b = 4:
q = 2:
q = 3: 216, 343, 729, 1000.
q = 4: 81, 2401, 6561,28561.
q = 5: 32, 100000.
q = 6: 1000000.
q = 7 : 128, 279936, 410338673.
q = 9 : 512.
Base b = 3:
q = 2: 16, 25.
q = 3: 64, 512.
q = 4: 256.
q = 5: 100000.
q = 6, 7, 8, 9: pas de solution.
Base b = 3: pas de solution dans l'intervalle de recherche.

- R-NOMBRES de type A5
On remplace maintenant n par n^r, r > 1, pour définir des r-nombres de type A5.
En base décimale, on observera que pour toute solution n(r), la puissance n^r est un nombre de Niven, n ne l'étant pas nécessairement.
Ici l'encadrement des solutions devient
  b^p-1 < n < (rp_b(b-1))^q,
et il existe toujours un p*(q, r) qui assure la finitude de ces r-nombres.
Nous avons calculé toutes les solutions non triviales dans [2, 10^7] pour tout r < 10 et tout q < 6.
- Base décimale
q = 1: 9(2);
  8(3), 17(3), 18(3), 26(3), 27(3);
  7(4), 22(4), 25(4), 28(4), 36(4);
  28(5), 35(5), 36(5), 46(5);
  18(6), 45(6), 54(6), 64(6);
  18(7), 27(7), 31(7), 34(7), 43(7), 53(7), 58(7), 68(7);
  46(8), 54(8), 63(8);
  54(9), 71(9), 81(9).
q = 2: 49(2), 484(2), 625(2), 784(2), 1296(2);
  324(3), 2025(3), 2916(3), 4096(3);
  6724(5), 7225(5), 8836(5), 9409(5), 11236(5), 13689(5);
  17689(8), 20164(8), 26569(8), 28561(8), 32761(8), 34969(8);
  29584(9), 32761(9).
q = 3: 5832(2), 91125(2), 157464(2), 262144(2);
  157464(3), 357911(3), 531441(3);
  1259712(4);
  1225043(5), 2406104(5), 2515456(5), 3511808(5), 3652264(5), 5088448(5), 7880599(5);
  5088448(6), 5929741(6);
  729000(7), 7880599(7).
q = 4: 4477456(2), 8503056(2).
q = 5: pas de solution.
- Base 9
q = 1: 8(3), 28(3);
  7(4), 43(4);
  29(5), 31(5);
  64(8), 70(8);
  27(9).
q = 2: 7744(4);
  15625(5);
  2025(6), 6724(6);
  3969(7), 11449(7), 15625(7), 25600(7);
  27556(8);
  32761(9), 38809(9).
q = 3: 64000(2);
  551368(4);
  3112136(5), 6028568(5);
  19683(9).
q = 4, 5: pas de solution
- Base 8
q = 1: 26(3), 27(3);
  7(4), 27(4);
  55(6);
  68(7), 71(7);
  71(9), 89(9).
q = 2: 16(2), 324(2);
  1936(3);
  13689(6);
  13225(7), 19321(7);
  27556(8), 31684(8);
  29584(9), 39601(9).
q = 3: 91125(2);
  97336(3);
  729000(4);
  28632885), 4826809(5).
q = 4: pas de solution.
q = 5: 1024(2).
- Base 7
q = 1: 9(2), 13(2), 16(2), 18(2);
  8(3), 17(3), 18(3), 19(3), 26(3), 27(3);
  22(4), 25(4);
  29(5), 31(5), 41(5), 45(5);
  43(7), 44(7), 46(7), 59(7), 81(7);
  82(8), 97(8);
  81(9), 82(9).
q = 2: 324(2), 625(2), 729(2), 1296(2), 1369(2), 1600(2);
  1296(3), 2916(3);
  8836(5), 9801(5);
  13924(6), 21025(6);
  11236(7), 23409(7), 36100(7);
  23409(8), 32400(8);
  42849(9), 50625(9), 59049(9).
q = 3: 46656(2);
  21952(3), 389017(3), 704969(3), 1225043(3);
  729000(4), 3442951(4);
  2744(5), 456533(5), 753571(5), 4251528(5), 5639752(5), 5832000(5);
  6859000(6), 7880599(6).
q = 4: 614656(2).
q = 5 : 9509900499(2).
- Base 6
q = 1: 18(6);
  18(7), 50(7);
  18(8);
  80(9), 81(9), 98(9), 99(9).
q = 2: 729(2);
  12544(4);
  2916(5), 18769(5);
  27889(7), 43264(7);
  63001(9), 67600(9).
q = 3: 15625(2);
  389017(3), 512000(3);
  157464(4).
q = 4, 5: pas de solution.
- Base 5
q = 1: 16(2), 18(2);
  19(3), 28(3);
  27(4);
  27(5);
  10(6), 64(6);
  40(7);
  103(8).
q = 2: 256(2), 729(2);
  100(3), 2916(3), 5184(3), 6561(3);
  28900(9), 63504(9).
q = 3: 373248(2);
  91125(3), 753571(3), 1643032(3);
  614125(4), 4330747(4);
  9528128(5).
q = 4: 4100625(2).
q = 5: pas de solution.
- base 4
q = 1: 9(2), 31(2);
  8(3), 18(3), 35(3), 37(3);
  43(4), 45(4), 54(4);
  34(5), 58(5), 63(5), 70(5);
  36(6), 55(6), 63(6), 82(6);
  36(7), 76(7), 86(7);
  52(8), 63(8), 88(8), 117(8), 126(8);
  8(9), 44(9), 72(9), 125(9), 127(9), 135(9).
q = 2: 81(2), 484(2), 961(2);
  784(3), 5329(3);
  1600(4), 8100(4), 13689(4);
  5776(5), 8100(5), 8836(5), 11236(5), 11664(5), 13924(5), 18225(5);
  5184(6), 26569(6), 35721(6), 39601(6), 47089(6);
  5184(7), 7744(7), 32400(7), 52441(7);
  58081(8).
q = 3: 46656(2), 300763(2), 389017(2), 970299(2);
  512(3), 46656(3), 941192(3), 2048383(3), 2406104(3), 4330747(3);
  1000000(4), 5929741(4), 6859000(4), 8615125(4);
  1404928(5);
  2985984(8);
  512(9).
q = 4: pas de solution.
q = 5: 32768(3).
  32768(9).
- REMARQUE 3
On note pour b = 4, q = 5, la solution 32768 avec deux valeurs de r, 3 et 9; nous avons 32768 = 20.000.000_4, d'où 20.000.000^3=8.10^21 ainsi que 20.000.000^9=512.10^63 et dans les deux cas la somme des chiffres vaut 8 or 8^5=32768.
- Base 3
q = 1: 4(2), 16(2), 25(2);
  40(4), 49(4), 58(4);
  28(6), 45(6), 73(6), 118(6);
  58(7);
  45(9).
q = 2: 256(2);
  784(3), 6400(3), 8281(3), 9604(3);
  18496(4);
  51076(6), 68644(6);
  91204(7);
  198025(8);
  178084(9).
q = 3: 912673(2);
  4913000(3);
  970299(4);
  1601613(6).
q = 4, 5 : pas de solution.
- Base 2
q = 1: 58(4), 103(4);
  202(7);
  178(8), 214(8), 243(8);
  80(9), 325(9).
q = 2: 81(2), 625(2);
  16129(3), 32761(3);
  59049(4);
  142129(5).
q = 3: 46656(2), 2000376(2).
q = 4: 1679616(2).
q = 5: pas de solution.
- PROPRIETE 5
(comparer avec la Propriété 1)
Pour le cas r = 1, q = 3, 1331 est solution en base 6 et 7.
Pour q = 3, en base décimale, la solution n = 7880599 est valable pour r = 5 et pour r = 7; en effet les puissances 5 et 7 de n ont la même somme de leurs chiffres 199, et 199^3 = 7880599.
Avec q = 1, on a 58(7) en base 3 et 58(4) en base 2; 81(9) est solution, pour q = 1, en base 6 et en base 7.
En base 4 pour q = 1, on obtient les solutions 36(6) et 36(7) et les solutions 63(5), 63(6) et 63(8).
512 est solution pour q = 3 en bases 3, 5 et 7, et pour q = 9 en base 4.
On observe plusieurs couples de solutions consécutives m, m+1 (comme dans la Propriété 3 mais pas pour les mêmes raisons) comme:
en base décimale pour q = 1, 17(3), 18(3), ou 35(5), 36(5); en base 7 avec q = 1, 26(3), 27(3), 43(7), 44(7), et 81(9), 82(9).
Pour q = 1 en base 7 on obtient trois solutions consécutives 17(3), 18(3), 19(3) avec le même r.

- Les cycles et les grands r-nombres du cas A5
On peut facilement trouver de nombreux cycles très attractifs, y compris pour de grandes valeurs de r, comme par exemple:
en base décimale, pour r = 1230 on a, avec q = 1 le cylce C₂(24264, 23958), avec q = 2 le cycle C₇(2748380625, ..., 2697659721);
en base b = 7, pour r = 1230 et q = 1 on obtient C₉(28792, ..., 28729);
en base b = 8, pour r = 640 et q = 2 on obtient C₄₇(809914681, ..., 789722404).
On peut aussi obtenir des cycles avec de très grands éléments comme (32 chiffres pour le plus grand):
pour b = 10, r = 10 et q = 10, le cycle d'ordre 6:
C₆(36007779262724859602006912574801, 20106555868618066406250000000000, 516129268232268115909307006976, 12467674891598298038927818692849, 17580946337970447237432946458624, 31726460126708788481792201913849),
ou celui d'ordre 4, C₄(54662341537832180190120927821824,...).
Pour ces mêmes valeurs de b, q, r on peut d'ailleurs aussi obtenir des 10-nombres A5 à 32 chiffres:
 30621506146930245210465133133824(10),
ou 24688356257665341149460108903424(10), ...
Pour b = 10, r = 12, q = 15 on peut citer un 12-nombre à plus de 50 chiffres:
4408065546079641722623334480264058644776560618679357(12),
et pour b = 10, r = 21, q = 19, un 21-nombre à plus de 70 chiffres:
9187728127402079562043079316508561394371231877680060713331652938928737881(21), ...
Les applications A5 ont de nombreuses solutions (points fixes et cycles) très attractives et donc faciles à obtenir, même quand elles font intervenir des grands nombres de l'ordre de près d'une centaine de chiffres.

CONCLUSION
Nous avons analysé les quatre espèces de nombres de Armstrong en bases de 2 à 10, ainsi que plusieurs variantes; nous avons étendu la détermination en passant à une puissance r > 1 pour calculer des r-nombres correspondants. Nous avons défini et traité de la même manière une cinquième espèce qui est assez proche de certains nombres de Niven ([14]).
Tous ces ensembles de nombres ainsi définis, aussi bien ceux des quatre espèces de Armstrong que ceux des diverses variantes proposées ou de notre cinquième espèce sont finis et nous en avons déterminé plusieurs représentants dans les bases de 2 à 10. Pour chacun de ces cas nous avons aussi explicité des r-nombres correspondants.
Toutes nos nombreuses illustrations numériques expriment toutes les solutions calculables dans au moins l'intervalle [1, 10^7] mais certains calculs ont été poussés plus loin.

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​(*) Professeur honoraire Université Paul Sabatier, Toulouse, France, Webmaster du site SAYRAC .
Une version de cet article a été publiée dans HAL science ouverte le 04/02/2024 ( hal-04437219 ).

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REFERENCES
[1] Michael F. Armstrong, A brief introduction to Armstrong numbers, p.1-2.
[2] H. Dudeney, 536 puzzles and curious problems, 1967.
[3] J.S. Madachy, Madachy's mathematical recreations, Dover NY, pp.163-175, 1979.
[4] D. Wells, Chiffres curieux et interessants, Penguin, pp.169-190, 1988.
[5] C. A. Pickover, Les clés de l'infini, Wiley, ch. 22, pp.169-171, 1995.
[6] P. Erdös and C. Ashbacher. Thoughts of Pal Erdös on some Smarandache notions, Smarandache Notions Journal, 8(1-2-3):220–224, 1997.
[7] C. A. Pickover, Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning, Oxford University Press, Oxford, England, 2001.
[8] Dann van Berkel, On a curious property of 3435, arXiv:0911.3038 [math.Ho], A166623, 2009.
[9] E. W. Weisstein. From MathWorld – A Wolfram Web Resource, Münchhausen Number, 2014.
[10] O.Cira, F.Smarandache, Various arithmetic functions and their applications, PONS asbl, Bruxelles, 2016.
[11] John D. Cook, nombres de Munchhausen, 2016.
[12] R.L.Clerc, Les transformations agréables et une nouvelle classe de nombres narcissiques parfaits, p.1-17, ( https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03619147), 2022.
[13] R.L.Clerc, The perfect r-narcissistic numbers, p.1-2, ( https://hal.science/hal-04229895), 2023.
[14] R.L.Clerc, Quelques nombres de Niven-Harshad particuliers, p.1-18, ( https://hal.science/hal-04235744), 2023.
[15] R.L.Clerc, Perfect r-narcissistic numbers in any base, https://hal.science/hal-04376934, 2024.
[OE1] Nombres de Armstrong de première espèce ou ppdi, OEIS A005188 .
[OE2] Nombres de Armstrong de deuxième espèce, OEIS A032799 , Patrick De Geest, 1998.
[OE3] Nombres de Armstrong de troisième espèce ou nombres de Münchhausen, OEIS A046253 , Patrick De Geest, 1998.
[OE4] Nombres de Armstrong de première espèce en base 9, OEIS A010353 , N.J.A. Sloane, J.Myers; avec références vers les bases de 4 à 16, 2009.
[OE5] Nombres r-narcissiques (rppdi), OEIS A364601 , R.L.Clerc, 2023.