RAPPELS THEORIQUES

Quelques définitions des systèmes différentiels considérés: ils sont canoniques .

De façon plus générale on envisage des systèmes évolutifs en dimension FINIE, de type systèmes différentiels canoniques ou de type système itératif .

Systèmes différentiels canoniques: on envisage ici les dimensions 2,3 ou 4

Ce sont des systèmes différentiels explicites du premier ordre, c'est-à-dire explicitement résolus par rapport aux dérivées premières des inconnues:

(S) dxk/dt = Fk( xk ) , k = 1,2 ( ou 1,2,3 ou 1,2,3,4)

Le champ de vecteurs Fk( xk ) qui exprime le second membre de (S) pourra posséder diverses propriétés (divergence nulle, forme gradient, existence de H, ...) qui seront systématiquement recherchées par le logiciel.

Système hamiltonien: dimension paire obligatoirement pour le système; ici on envisage seulement le cas de 2 (n=1) ou 4 (n=2) équations (différentielles scalaires).
dqi/dt = H/pi,

dpi/dt = - H/qi , i = 1, 2, ...., n

H (pi,qi, t) est la fonction de Hamilton ou hamiltonien du système.

Un tel système est à divergence nulle et ne peut posséder, pour le cas n=1, que des points singuliers de type col ou centre exclusivement.

Par ailleurs si H/t = 0, H = cte est une intégrale première du système; pour n=1, son existence assure l'intégrabilité du système puisque H = cte exprime alors les équations de toutes les trajectoires solutions du système.
Système gradient: dimension paire ou impaire; ici on envisagera seulement m=2, 3 ou 4.
dxi/dt = G/xi , i = 1, 2, ...., m

G (xi ,t) est la fonction gradient du système.

Un tel système, pour m=2, ne pourra posséder que des points singuliers de type noeud ou col exclusivement.

Remarque: un système en dimension 2 (m=2) qui est à la fois hamiltonien et gradient ne peut donc posséder que des points singuliers de type col (exemple: dx/dt=2x-y, dy/dt=-x-2y avec H= 2xy+x2/2-y2/2 et G= x2-xy-y2).Observons qu'alors les fonctions correspondantes H et G sont HARMONIQUES (solutions de l'équation de Laplace )

Système itératif: on se placera en dimension deux seulement.

xn+1 = f( xn, yn )

yn+1 = g( xn, yn ) , n=1,2,3,...

n est quelquefois appelé le temps discret du système.

L'application (xn , yn) ---------> (xn+1 , yn+1) définit une transformation ponctuelle de R2 dans R2 ou encore une itération de dimension 2.

On pourra rechercher ses points fixes et analyser leurs valeurs propres pour les caractériser selon la classification (topologique locale) de Poincaré en noeud , col, centre ou foyer .

Intégrale première: concerne ici un système différentiel ordinaire.

C'est une fonction F constante sur les trajectoires solutions du système différentiel; cette équation exprime encore une équation différentielle du premier ordre.

On parle encore de constante du mouvement pour bien exprimer cette propriété de conservation le long des trajectoires.

Le système dx/dt = A(x,y) , dy/dt = B(x,y) possède l'intégrale première F(x,y) si l'on a F(x,y) = constante le long des trajectoires solutions du système,c'est-à-dire si dF/dt calculé le long du système différentiel est nul.

Points fixes (ou points singuliers): concerne un système différentiel ordinaire ou une itération.

Le système dx/dt = A(x,y) , dy/dt = B(x,y) possède le point fixe (ou point singulier ou position d'équilibre) (x0, y0) si celui-ci est une solution du système, c'est-à-dire si:

A(x0,y0) = 0 , B(x0,y0) = 0 .

Pour une itération xn+1 = f( xn, yn ) , yn+1 = g( xn, yn ) , il s'agira d'une solution (x0, y0) telle que:

f( x0, y0) = xn , g( x0, y0) = yn pour tout n >= 0 .

Valeurs propres (d'un point fixe ou point singulier): concerne un système différentiel ordinaire ou une itération.

Ce sont les racines de l'équation caractéristique au point fixe considéré du linéarisé du système (différentiel ou itératif). La nature de ces racines (réelles ou complexes) détermine la forme topologique locale des trajectoires au voisinage du point fixe et donc le type de celui-ci.

COL (point singulier de type col): concerne un système différentiel ou une itération de dimension 2.

En dimension 2, il y a un seul type de col qui est une singularité instable et, pour le cas d'un système différentiel, à valeurs propres réelles de signe contraire.

NOEUD (point singulier de type noeud): concerne un système différentiel ou une itération de dimension 2.

En dimension 2, il existe les nœuds stables et les nœuds instables et, pour le cas d'un système différentiel, ils sont à valeurs propres réelles de même signe.

FOYER (point singulier de type foyer): concerne un système différentiel ou une itération de dimension 2.

En dimension 2, il existe les foyers stables et les foyers instables et, pour le cas d'un système différentiel, ils sont à valeurs propres complexes conjuguées.

CENTRE (point singulier de type centre): concerne un système différentiel ou une itération de dimension 2.

En dimension 2, il existe un seul type de centre et, pour le cas d'un système différentiel, il s'agit d'une singularité à valeurs propres imaginaires conjuguées. Le centre est par ailleurs, une singularité (non élémentaire comme les cols, nœuds ou foyers) structurellement instable associée à un mouvement périodique.

CUSP ou REBROUSSEMENT (point singulier de type cusp): concerne un système différentiel ou une itération de dimension 2.

Toujours en dimension 2 et pour les systèmes différentiels, il s'agit d'un col dégénéré à valeurs propres nulles dont le portrait de phase correspondant (la forme locale des trajectoires solutions du système en son voisinage) présente un rebroussement.
Gradient d'un champ de vecteurs: on se place par exemple en dimension 3.

Etant donné un champ de vecteurs F(A, B, C) donné par ses composantes A, B, C suivant une base associée à des coordonnées cartésiennes (x, y, z), on appelle gradient de F, le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles A/x, B/y, C/z:

grad (F) = ( A/x, B/y, C/z)

Divergence d'un champ de vecteurs: on se place par exemple en dimension 3.

Etant donné un champ de vecteurs F(A, B, C) donné par ses composantes A, B, C suivant une base associée à des coordonnées cartésiennes (x, y, z), on appelle divergence de F, la fonction scalaire:

div (F) = A/x + B/y + C/z

Rotationnel d'un champ de vecteurs: on se place par exemple en dimension 3.

Etant donné un champ de vecteurs F(A, B, C) donné par ses composantes A, B, C suivant une base associée à des coordonnées cartésiennes (x, y, z), on appelle rotationnel de F, le vecteur dont les composantes sont:

Rot (F) = (C/y - B/z, A/z - C/x, B/x - A/y)

Jacobienne d'un champ de vecteurs: concernera ici seulement les systèmes de dimension 2,3 ou 4.

Il s'agit du déterminant de l'application linéaire tangente du champ de vecteurs F exprimant le second membre du système (S)

(S) dxk/dt = Fk( xk ) , k = 1,2 ( ou 1,2,3 ou 1,2,3,4)

Facteur intégrant: concernera ici les systèmes de dimension 2.

Le système non hamiltonien dx/dt = A(x,y) , dy/dt = B(x,y) possède le facteur intégrant M(x,y) si le système dx/dt = M A, dy/dt = M B est hamiltonien. Si M est différentiable non négatif et s'annule au plus sur les points fixes du système initial, alors les deux systèmes ont des trajectoires (topologiquement) équivalentes.

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