VARIANTE des PREMIERS de SOPHIE GERMAIN (4p+1 au lieu de 2p+1)
On rappelle qu'un nombre premier sûr est un nombre premier de la
forme 2p+1, où p est lui-même un nombre premier.
Un nombre premier p, tel que 2p+1 soit aussi premier, est un nombre premier de Sophie Germain .
On s'intéresse ici à ces nombres de Sophie Germain, non pas en tant que première pierre de la longue démarche vers la résolution de la conjecture de Fermat de 1621 (voir le
théorème de Sophie Germain de 1825), qui a abouti
au théorème de Fermat-Wiles en 1994, mais en tant qu'un certain ensemble de nombres premiers.
Il est conjecturé que les premiers de Sophie Germain (comme d'ailleurs, les premiers sûrs) sont en nombre infini...Dans cet ensemble qu'on pourra appeler PSG on peut considérer des premiers jumeaux, cousins, sexy, ... comme pour l'ensemble P de tous les premiers. Mais on pourra observer qu'il existe ici beaucoup moins de tels représentants; par exemple il existe un seul couple de jumeaux dans PSG, (3, 5) et aucun couple de cousins ...
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Variante 4p+1 au lieu de 2p+1
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Ici c'est l'application S4, q --> 4q+1 de G4 dans G4, qui permettra de définir par itération des éventuelles chaînes de nombres de G4.
On peut montrer facilement que tout premier p de G4 supérieur à 3 est nécessairement 1(6) et donc que tous les 4p+1 associés sont nécessairement 5(6); il en résulte que la seule chaîne possible est la paire (3, 13).
Cet utilitaire vous permet d'obtenir la liste des nombres premiers sûrs4 (4p+1 au lieu de 2p+1) ou des nombres premiers de Sophie Germain4 (p et 4p+1 premiers), jusqu'à une certaine borne à choisir (on a inscrit 10000 par défaut). Le choix 'Nombres premiers sûrs4' vous donnera les deux listes plus quelques couples de sexy, cousins, jumeaux, ...; le choix 'Nombres de Sophie Germain4' vous donnera aussi l'unique chaîne de tels nombres.
