( Mise à jour août 2020: On utilise la bibliothèque bcmath et les nombres sont traités en tant que chaînes de caractères comme on l'avait fait pour les
grandes factorielles , ce qui permet d'aller au moins jusqu'au 288-palindrome et de lister de grands nombres de Lychrel Potentiels. Vous pouvez tester un entier 'aussi grand que vous voulez' et vous ne serez soumis au 'Fatal error' du serveur que si vous dépassez les 20 secondes d'exécution pour le calcul ...Pour aller encore plus loin et bénéficier de 60 secondes de calcul )
Il s'agit d'illustrer la notion de nombre palindrome , et de générer des palindromes et des nombres de Lychrel Potentiels.
C'est un nombre n qui s'écrit d'une manière symétrique dans une base b quelconque,
sous la forme b1b2b3...b3b2b1 (un nombre palindrome impair à 2p+1 chiffres se notera b1...bpbp+1bp...b1). Citons par exemple 3773, 747, 12344321 ou 1011101...
On pourra noter un palindrome à k+1 chiffres en base b≥2, n>0, n = ∑i=0i=kai bi, 0 ≤ ai < b pour tout i,
ak non nul, avec ai = ak-i pour tout i.
Plaçons-nous, pour simplifier, en BASE DECIMALE, et décrivons le procédé classique pour les générer. Etant donné un entier n quelconque, considérons l'application P qui consiste à l'additionner au nombre
formé de l'inversion de ses chiffres que l'on pourra appeler le nombre miroir de n; par exemple, à partir de n=a1a2a3, on lui ajoute m=a3a2a1,
si le résultat n'est pas un nombre palindrome on applique à nouveau P sur n+m et ainsi de suite pour essayer d'obtenir un nombre palindrome.
Le plus souvent, après un nombre fini (et même petit) d'itérations, on obtient un nombre palindrome (on dit quelquefois que n est un palindrome retardé).
Dans certains rares cas, même un très grand nombre d'itérations ne conduit pas à un nombre palindrome; le plus petit de ces nombres est 196. Plusieurs auteurs ont effectué plusieurs dizaines de millions d'itérations P
à partir de 196 sans aboutir sur un nombre palindrome (les nombres obtenus ayant quelques centaines de millions de chiffres). D'autres nombres plus grands, comme 295, 394, ..., 879, 1997, ... semblent numériquement posséder la même propriété.
On est assez naturellement conduit à conjecturer l'existence de nombres qui ne sont JAMAIS palindromes sous toute succession d'itérations P. On les
appelle des Nombres de Lychrel.
Un NOMBRE de LYCHREL est un nombre, en base décimale, qui ne produit jamais de nombre palindrome quel que soit le nombre d'itérations P qu'on lui applique.
L'existence d'au moins un tel nombre de Lychrel n'est pour le moment qu'une conjecture, le fait que leur nombre est (probablement) infini aussi... On dira que 196 est le premier nombre de Lychrel Potentiel.
Le processus itératif P est d'ailleurs encore appelé l'algorithme 196. En 2015, des tests numériques sur 196 atteignirent un nombre à plus de un milliard de chiffres qui n'était toujours
pas un palindrome !
Ce petit calculateur fait agir l'itération par P sur un entier n et génère le plus petit nombre palindrome obtenu et le nombre d'applications P nécessaires; pour un nombre n choisi nous appellerons p-palindrome le plus petit nombre palindrome obtenu après p applications P, p=0 correspondant aux nombres n trivialement palindromes. On calculera aussi les 200 premiers itérés conduisant à divers palindromes et nombres de Lychrel Potentiels successifs générés par le nombre n choisi.
Nous nous sommes limités ici à 600 itérations par l'application P pour la recherche du plus petit palindome associé.
Observez par exemple que 196, 295, 1997 ...ne produisent pas de p-palindrome; par ailleurs 98 est 24-palindrome, 9008299 est 96-palindrome, 1186060307891929990 est 261-palindrome, mais le dernier record 2019 est 12000700000025339936491 qui est 288-palindrome et génère un palindrome de 142 chiffres ...(on pourra consulter aussi A023108 ).
Notez aussi que par exemple, 12 a pour 1-palindrome 33, mais génère aussi les palindromes successifs 66, 363, 4884, 8836886388, 47337877873374 (le 6-ème et dernier) et ensuite des Lychrel Potentiels successifs ... 1 et 10003 produisent 10 palindromes et
10000 en fournit 12, mais il semble que le plus souvent un entier en produit moins de 10 ...les itérés suivants étant toujours des Lychrel Potentiels.
