PALINDROMES
et NOMBRES PALINDROMES

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Quelques remarques générales sur les palindromes de lettres, les séquences palindromiques en génétique, le palindrome musical et surtout des propriétés des nombres palindromes avec quelques résultats récents (octobre 2017).

- PALINDROMES -

Le nom commun PALINDROME vient du grec ancien palindromos 'qui court en sens inverse' et il est composé de palin 'en sens inverse' et de dromos 'course'.
Historiquement le plus vieux 'palindrome parfait' est probablement le carré Sator découvert à Pompéi en 1936 (il peut se lire de droite à gauche, de gauche à droite mais aussi de bas en haut et de haut en bas) et qui est en quelque sorte un carré magique de lettres (techniquement c'est une construction phraséomorphe anacyclique à quadruple entrée):
S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S
Ce carré-palindrome figure dans plusieurs inscriptions latines très anciennes (il aurait été enfoui dans les ruines de Pompéi en l'an 79) et le texte SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS aurait été trouvé dans de nombreux autres endroits ...de nombreux écrits ont été publiés sur le 'mystère sator' ou l'énigme du carré sator' ...
Les mots ou les phrases palindromes (dans une quelconque langue) se lisent exactement de la même manière de gauche à droite ou de droite à gauche: gag, ressasser, rotavator ou engage le jeu que je le gagne, à l'étape épate-là (on néglige les signes diacritiques, accents, trémas, cédilles, ainsi que les espaces, la ponctuation et les majuscules), somos, ojo, reconocer en espagnol ou madam, peep, noon en anglais ...
On pourra consulter une liste des palindromes du français ainsi que des palindromes européens . Ce palindrome, aussi appelé palindrome de lettres est un cas particulier des figures de style que sont une anagramme (ironique et onirique, platine patelin, plainte pliante, ...) ou un anacyclique (mon et nom, zen et nez, ...).
De manière plus générale un palindrome caractérise un texte constitué de lettres et/ou de chiffres dont l'ordre des caractères est invariant quand on le parcourt de gauche à droite ou de droite à gauche.
En notation musicale alphabétique (A=la, B=si, C=do, D=ré, E=mi, F=fa, G=sol, notation héritée de la Grèce antique), on peut décrire une séquence palindrome comme ACDEAEDCA. Le palindrome musical est d'ailleurs une pratique ancienne, bien illustrée en particulier par J.S.Bach dans un des canons de son Offrande Musicale ou dans la fugue à quatre voix n° 16 ainsi que par W.A.Mozart dans un trio de cors de basset, dans une transcription pour deux guitares, ou par J.Haydn dans sa symphonie numéro 47 'Palindrom'. Bela Bartok, Alban Berg, Paul Hindemith, Igor Stravinsky, Anton Webern, ... ont aussi incorporé des palindromes dans certaines de leurs compositions.
En génétique on parle de séquence palindromique. Il s'agit d'une séquence d'acide nucléique ADN ou ARN (composée d'une succession des quatre nucléotides Adénine, Cytosine, Guanine et Thymine), identique lorsqu'elle est lue dans le sens 5'-> 3' sur un brin ou dans le sens 3'-> 5' sur le brin complémentaire: c'est par exemple le cas de 5'-GAATTC- 3' et 3'-CTTAAG- 5', séquence reconnue par une enzyme de restriction. De même la séquence ACCTAGGT est dite palindromique car elle est symétrique de la séquence TGGATCCA qui lui est complémentaire. On peut aussi avoir un réel palindrome sur un même brin comme ATTGC.CGTTA.

- NOMBRES PALINDROMES -

On peut envisager une démarche analogue pour les nombres entiers dans une base quelconque (ce qui nous avions très succinctement commenté en 2012 dans un très court paragraphe du fichier sciencediv.php ).
Un nombre palindrome est un nombre n qui s'écrit d'une manière symétrique dans une base b, sous la forme b1b2b3...b3b2b1 (un nombre palindrome impair à 2p+1 chiffres se notera b1...bpbp+1bp...b1). Citons par exemple 3773, 747, 12344321 ou 1011101...
On pourra noter un palindrome à k+1 chiffres en base b≥2, n>0, n = ∑i=0i=kai bi, 0 ≤ ai < b pour tout i, ak non nul, avec ai = ak-i pour tout i.
De nombreuses propriétés de ces nombres ainsi que la manière de les générer peuvent être citées (voir Math93.com ou la liste des nombres palindromes de 0 jusqu'à 1 000 000 ou encore recreomath ; notons aussi en 2013 le premier des défis mathématiques du journal le Monde de Cédric Villani sur le dénombrement des palindromes et tout récemment l'article 121, 404 et autres nombres palindromes de Jean-Paul Delahaye dans la revue 'pour la Science' d'octobre 2017).

Plaçons-nous tout d'abord, pour simplifier, en BASE DECIMALE, et décrivons le procédé classique pour les générer.
Etant donné un entier n quelconque, considérons l'application P qui consiste à l'additionner au nombre formé de l'inversion de ses chiffres que l'on pourra appeler le nombre miroir de n; par exemple, à partir de n=a1a2a3, on lui ajoute m=a3a2a1, si le résultat n'est pas un nombre palindrome on applique à nouveau P sur n+m et ainsi de suite pour essayer d'obtenir un nombre palindrome.
Par exemple 725 donne 725+527=1252 qui fournit 1252+2521=3773 qui est un palindrome après donc deux itérations P; de même 1250 donne 1250+0521=1771 qui est palindrome.
Pour 7219, il vient 7219+9127=16346, 16346+64361=80707, 80707+70708=151415, 151415+514151=665566, palindrome après 4 étapes ...
Le plus souvent, après un nombre fini d'itérations, on obtient un nombre palindrome.
Dans certains rares cas, même un très grand nombre d'itérations ne conduit pas à un nombre palindrome; le plus petit de ces nombres est 196. Plusieurs auteurs ont effectué plusieurs dizaines de millions d'itérations P à partir de 196 sans aboutir sur un nombre palindrome (les nombres obtenus ayant quelques centaines de millions de chiffres). D'autres nombres plus grands, comme 295, 394, ..., 879, 1997, ... semblent numériquement posséder la même propriété.

- - Nombres de Lychrel -

On est assez naturellement conduit à conjecturer l'existence de nombres qui ne sont JAMAIS palindromes sous toute succession d'itérations P. On les appelle des nombres de Lychrel.

Un NOMBRE de LYCHREL est un nombre, en base décimale, qui ne produit jamais de nombre palindrome quel que soit le nombre d'itérations P qu'on lui applique.

L'existence d'au moins un tel nombre de Lychrel n'est pour le moment qu'une conjecture. On dira que 196 est le premier nombre de Lychrel potentiel. Le processus itératif P est d'ailleurs encore appelé l'algorithme 196. En 2015, des tests numériques sur 196 atteignirent un nombre à plus de un milliard de chiffres qui n'était toujours pas un palindrome !
Vous pouvez tester en ligne l'itération par P sur le calculateur de Lychrel .
Il y a naturellement un nombre infini de nombres palindromes (en prenant n'importe quelle suite de chiffres ne commençant pas par 0 on pourra construire le palindrome correspondant); l'encyclopédie de N.J.A.SLOANE en donne un début de liste .
Pour n pair, on peut facilement montrer qu'il existe 9.10n/2-1 nombres palindromes à n chiffres.
Pour n impair supérieur à 1, il existe 9.10(n-1)/2 nombres palindromes à n chiffres.

- - Nombres palindromes et nombres premiers -

On peut montrer que la densité des nombres palindromes est sensiblement inférieure à celle des nombres premiers.
D'après les critères de divisibilté pour les nombres écrits en base décimale, on retiendra qu'un entier est divisible par 11 si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est un multiple de 11; par exemple 151723 est multiple de 11 puisque (5+7+3)-(1+1+2)=11.
Il en résulte que tout nombre palindrome à nombre PAIR de chiffres est nécessairement divisible par 11 (b1+b3+...-...-b3-b1=0). Par conséquent un nombre palindrome à nombre pair de chiffres n'est jamais un nombre premier. En revanche, parmi les palindromes à nombre impair de chiffres, il existe bien sûr des nombres premiers palindromes . L'assertion, il existe un nombre infini de nombres premiers palindromes, reste cependant une conjecture.
La liste des nombres premiers palindromes en base 10 débute par: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, ..., 929, ..., 18181, ...

- - Nombres palindromes en base quelconque -

On passe assez facilement des propriétés des nombres palindromes en base 10 à celles de ceux en base b quelconque telle que 1 < b ≤ n.
Trivialement un nombre quelconque n est palindrome dans toutes les bases b > n puisqu'il s'écrit alors avec un seul symbole (ou 'chiffre'): par exmple 910 = 916 = 9, 1516 = F (les 'chiffres' de la base 16 se notent 0123456789ABCDEF).
On peut montrer qu' en base b un entier est divisible par (b+1) (*) si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est un multiple de (b+1) (on vérifiera par exemple que 4566545 = 16554 = 2759 x 6). On obtient ainsi que, comme plus haut pour la base 10 et la divisibilité par 11, les palindromes à nombre pair de chiffres exprimé en base b sont des multiples de (b+1) et donc ne sont jamais des nombres premiers.
Naturellement, comme plus haut, il existe des nombres palindromes à nombre impair de chiffres écrits en base b qui sont des nombres premiers.
Il existe des nombres simultanément palindromes dans plusieurs bases à la fois; 55 palindrome en base 10 s'écrit encore 313 en base 4, le nombre 105 non palindrome en base 10 s'écrit successivement 12214=1518=7714=5520=3334=11104 ...

- - Nombres strictement non palindromes -

Par définition, les nombres strictement non palindromes sont des entiers n qui ne sont palindromes dans aucune base b telle que 2 ≤ b ≤ n-2.

La limite supérieure (n-2) est nécessaire car en base (n-1) le nombre n s'écrit 1.(n-1)1 + 1.(n-1)0 c'est-à-dire 11 et il est donc toujours palindrome.
A partir de la liste des nombres strictement non palindromes 0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, ...283, 293, ..., on peut montrer que tout nombre strictement non palindrome supérieur à 6 est un nombre premier.


- - Entiers quelconques et nombres palindromes -

Peux-t-on exprimer tout entier avec uniquement des nombres palindromes?
Il est assez facile de construire des nombres qui ne s'écrivent pas comme la somme de deux palindromes, comme 21, 32, 43, ..., 1081,...Il a été montré qu'il existe une infinité de tels entiers.
Le très beau théorème établi en 2016 par J.Cilleruelo et F.Luca répond à la question avec une somme de trois palindromes.

THEOREME. Dans toute base b ≥ 5, tout nombre entier n s'écrit comme une somme d'au plus 3 nombres palindromes.

La démonstration proposée par les auteurs est constructive car elle fournit un algorithme donnant explicitement la somme recherchée pour tout entier. Par exemple 2017=1331+404+282, mais aussi 2017=1331+343+343... (Encore une propriété de l'an 2017 ...on avait déjà vu que le théorème de Noël de Fermat permettait d'observer que 2017 = 442 + 92).
Ce résultat rappelle quelque peu le théorème récent (2013) de Harald Helfgott qui prouve la version faible de la conjecture de Goldbach : tout nombre impair strictement plus grand que 5 est la somme de trois nombres premiers, ou encore le 'vieux' théorème de Gauss de 1796 (résultat initialement énoncé par Fermat en 1638) qui démontre que tout entier est la somme de trois nombres triangulaires (il s'agit des nombres de la forme n(n+1)/2, 0 admis).

- - Autres propriétés des nombres palindromes -

On peut construire et étudier des pyramides de nombres premiers palindromes comme dans Palindromic prime pyramids de G.L.Honaker et Chris K.Caldwell (2000).
On peut chercher parmi les nombres de la suite de Fibonacci ceux qui sont des palindromes: les seuls connus sont actuellement, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 55 et en particulier le seul nombre de Fibonacci palindrome à au moins deux chiffres actuellement connu est 55...
Les palindromes possèdent de nombreuses autres propriétés et plusieurs chercheurs ont publié assez récemment divers nouveaux résultats, certains assez techniques comme par exemple celui en liaison avec les notions de nombre infiniment palindrome et de fraction continue (voir l'article de JP.Delahaye cité plus haut ou Y.Bugeaud 2010 ou B.Adamszewski-Y.Bugeaud 2007...).


(*) Il suffit de montrer par récurrence que pour tout i, il existe un entier q tel que b2i = (b+1)q +1 et aussi un entier p tel que b2i+1 = (b+1)p -1.


Calculateur de Lychrel .

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