En mathématiques récréatives, un nombre de Niven, ou nombre de Harshad ou nombre multinumérique, est un entier naturel non nul qui est divisible, dans une base donnée, par la somme S de ses chiffres.
En base 10, tous les nombres de 1 à 10 inclus sont de Niven, on a ensuite 12, 18, 20, 21, 24, ..., 2022, 2023, 2024, 2025, ..., 142857, ...
Un nombre est dit de Niven complet (ou complètement Harshad) s'il est de Niven dans toutes les bases; c'est le cas uniquement de 1, 2, 4, 6.
De manière générale, dans une base b, tous les nombres de 1 à b et toutes les puissances de b sont des nombres de Niven.
En base 10, les factorielles de tous les entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres de Niven, 432! est la plus petite factorielle à ne pas être un nombre de Niven.
Dans toute base, il y a une infinité de nombres de Niven, qui sont donc de la forme n = K*S, K étant un entier quelconque. En revanche, pour un K bien spécifié, il n'y aura en général qu'un nombre fini de tels nombres de Niven particuliers.
On envisage ici une classe particulière de nombres de Niven en base 10: celles des nombres égaux au produit d'une certaine puissance t de la somme de ses chiffres par une certaine puissance r de la somme des carrés de ses chiffres. On parlera de nombres de Niven de type (t, r).
On donnera aussi, toujours en base 10, les nombres de Niven particulier de la forme n = S * P, S et P étant respectivement la somme et le produit des chiffres (non nuls) de n.
L'utilitaire nombres de Niven de type m*S donnera (en base 10) les nombres de Niven de la forme m*S (m entier quelconque donné) et une liste de nombres de Niven classiques pour une borne choisie.
Notations
n_k = ∑_i=1^i=k a_i 10^k-i, S(n_k) = ∑_i=1^i=k a_i, S₂(n_k) = ∑_i=1^i=k a_i², Z(n_k) = S^t(n_k)*S₂^r(n_k), P (n_k) = ∏ _i=1^i=k a_i.
Même si vous ne choisissez pas un entier n, vous obtiendrez une liste de nombres de Niven de type (t, r) et une liste de nombres de Niven de la forme S*P.
Remarque sur les types (1, 2): vous obtiendrez les solutions 1, 2023, 2400, 52215, 615627, 938600, 1648656, avec en particulier 2023 (le plus petit supérieur à 1). On peut montrer facilement que ce sont les seules solutions en observant que pour k >= 9, le Z maximum (9⁵k³) est strictement inférieur au plus petit nombre à k chiffres 10^k-1 (puisque k³ < 10^k-6 pour k >= 9).