Quelques  nombres remarquables et une

                 nouvelle classe de nombres r - narcissiques parfaits 

                         

On introduit une nouvelle famille de transformations qui possèdent des propriétés analogues aux transformations agréables T k et qui permettent en particulier  d'exhiber quelques nombres remarquables comme 9, 54, 90, 108 , 154203, 205, 685, 754, 760, 853, 900, 1330 , 1752, 1882, 2057, 3068, 3572, 3582, 36223877, 6746, 7249, 7978, 12277, et de définir une nouvelle classe de nombres r - narcissiques parfaits (7, 8, 9, 180, 205, 38998, 45994, 89080, ...).
 

S A Y R A C janvier 2008

Mode dictionnaire contextuel       

Définition 1: Une transformation dans N partout convergente et possédant  un nombre fini d'attracteurs (points fixes finis ou cycles d'ordre fini) sera dite agréable .

Les transformations à l'origine de cette définition sont les transformations T k dont nous rappelons la définition.

Transformations agréables T k : pour n  nombre (entier positif) à p chiffres notés  c i  (i = 1, ..., p), les transformations  T k (k > = 1 et fini) sont telles que

                      n -------> n 1 = T k (n) = ∑1 c i k  .    

Nous avons vu que toute itération par une transformation agréable T k converge dans l'ensemble fini A k = [0, 10k+1 [; nous allons voir d'autres transformations qui  vérifient une propriété analogue et qui constituent donc une autre classe de transformations agréables (d'où la définition générale donnée en exergue).

Considérons les nouvelles transformations suivantes (composées d'une puissance et d'un T k ):

S k r  : n ---> T k ( n r ) pour r > = 1, k > =1, n  entier positif quelconque (k et r étant finis).

Tout nombre n à p chiffres étant strictement inférieur à 10 p , il vient   n r < 10 r p ce qui entraîne:

S k r (n) < =  r p 9 k .

Pour tout couple (k, r) d'entiers strictement positifs, il existe un majorant M = M(k, r) = r 9 k tel que pour tout entier n à p chiffres on ait la majoration:  S k r (n) < = p M .

Par conséquent, dès que le nombre  p M a strictement moins de p chiffres, la transformation S k r  ne peut pas posséder de point fixe à p ou plus de p chiffres (puisque l'on ne peut pas assurer S k r (f) = f ); elle ne peut pas non plus alors posséder de cycle avec des éléments à p ou plus de p chiffres (l'itération par S k ne permettrait  pas de retrouver un élément de strictement plus de p chiffres). Ceci est assuré dès que p vérifie l'inégalité 10 p-1 / p > M et il existe manifestement toujours un plus petit p ayant cette propriété pour tout couple (k, r).

Définition 2. On notera p* = p* (k, r) le plus petit p tel que 10 p-1 / p > M (k, r).

Conséquence: la fonction 10 p-1 / p étant croissante,  pour tout p > = p*, on a toujours p M < 10 p - 1 et l'itération par   S k r   d'un nombre à de tels p chiffres  fournit toujours un nombre avec au plus p-1 chiffres (chaque itération fait perdre au moins un chiffre au transformé).

(Notons que pour tout k et tout r strictement positifs, on aura toujours p * > = 3).

Il en résulte que tous les attracteurs de S k r sont nécessairement constitués de nombres contenus dans l'intervalle fini [0, 10 p* -1 [, puisque ce p * est encore le plus petit p tel que le majorant  p M  soit strictement inférieur à 10 p-1 (soit encore, possède au plus (p-1) chiffres).  Les transformations S k r sont partout convergentes dans N (vers un nombre fini d'attracteurs; on notera na (k, r) ou simplement na ce nombre) et  sont donc toutes des transformations agréables comme les T k . (On pourra faire quelques essais numériques dans la page de simulations en ligne avec les transformations S k r .)

L'ensemble des nombres de [0, 10 p* -1 [ est l'intervalle de convergence de la transformation S k : tout nombre qu'il contient a tous ses itérés dedans et tout nombre extérieur y aboutit après un nombre fini d'itérations.

Il en résulte donc qu'il suffit de chercher la convergence de tous les entiers (*) de l'intervalle [0, 10 p* -1 [ pour déterminer tous les attracteurs (constitués d'entiers strictement positifs, le point fixe sans grand intérêt  0 ne sera plus pris en compte dans la suite) d'une transformation S k r donnée. En particulier, lorsqu'une telle transformation possèdera un unique point fixe strictement plus grand que 1 (1 étant le point fixe trivial commun à toutes nos transformations), ce nombre aura une propriété unique et  remarquable (voir les diverses propriétés suivantes pour 9, 108, 203, 205,...). Dans les exemples proposés les cycles seront caractérisés par leur ordre et leurs éléments extrêmes (on observera en particulier le plus grand qui sera conforme aux résultats précédents).

Du cas r = 1, où S k 1 s'identifie bien sûr à T k , nous retiendrons la transformation S 2 1 (ou T 2)  qui possède le point fixe trivial 1 et  le cycle C 8 (4, ..., 145), c'est-à-dire seulement 2 attracteurs: na (2, 1) = 2; nous dirons plus loin que C 8 , seul attracteur non trivial, est un cycle s - remarquable; rappelons que les nombres qui convergent, par itération de  S 2 1 , vers 1 sont les nombres heureux, cependant que ceux qui convergent vers C 8 sont les nombres malheureux.

Pour k = 3, r = 2 on a  M = 1458  et  donc S k r (n) < = 1458 p ; il en résulte que p * (k, r) = 5 et donc, dès que p = 5, tous les transformés d'un quelconque entier n à p chiffres ont strictement moins de 5 chiffres. Par conséquent,  tous les attracteurs de l'itération par S k r  sont dans l'intervalle [0, 10 4 [ ce qui assure le caractère agréable de la transformation. Ces attracteurs sont en nombre fini, ici na (3, 2) = 7 et il s'agit de deux points fixes (1, 205), un cycle C 2 (928, 1306), un cycle C 3 (753, 1413, 2745), un cycle C 9 (253, ..., 1270), un cycle C 12 (151, ..., 2419) et un cycle C 20 (27, ..., 1740). On peut donc en particulier affirmer le résultat (remarquable) suivant:

Propriété 1: 205  est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des puissances 3 des chiffres de son carré.

Pour k = 3, r = 6 on a M = 4374 et p * = 6; il y a ici comme seuls attracteurs (na(3, 6)= 7), 3 points fixes (1, 180, 3172), un cycle C 8 (3109, ..., 6607), un cycle C 12 (1264, ..., 6799), un cycle C 19 (2176, ..., 6919) et un cycle C 89 (1947, ..., 7002).

Nous verrons plus loin que 205 est un  nombre 2 - narcissique d'ordre 3 et que 180 est un  nombre 6 - narcissique d'ordre 3.

Pour k = 4, r = 2 on a M = 13122 et p* = 6; il y a dans ce cas, comme seuls attracteurs (na(4, 2) = 6), deux points fixes (1, 12277),  un cycle C 3 (14917,..., 23973), un cycle C 12 (8292, ..., 21908), un cycle C 15 (3941, ..., 22693) et  un cycle C 43 (822, ..., 27589). On peut en déduire:

Propriété 2: le nombre premier  12277 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des puissances 4 des chiffres de son carré.

Pour k = 2, r = 2 on a M = 162 et p* = 4; il y a ici, comme seuls attracteurs (na(2, 2) = 3), le point fixe 1, le cycle C 3 (74, 126, 175) et le cycle C 5 (33, ..., 146), d'où la propriété suivante:

Propriété 3: Il n'existe aucun nombre entier strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de son carré.

Pour k = 2, r = 3 on a M = 243 et p* = 4; il y a ici, comme seuls attracteurs (na = 5), les points fixes (1, 203), un cycle C 3 (157, ..., 344), un cycle C 5 (59, ..., 170) et un cycle C 7 (86, ..., 351). Il vient donc:

Propriété 4: 203  est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de son cube.

Pour k = 2, r = 6 on a p* = 5;  il y a ici exactement 3 attracteurs dont le point fixe 1 et 2 cycles C 12 (133, ..., 639), C 14 (203, ..., 752).  On peut donc affirmer la propriété suivante:

Propriété 5: Il n'existe aucun nombre entier strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 6.

Pour k = 2, r = 8 on a p* = 5;  il y a ici exactement 6 attracteurs dont les points fixes (1,754), et 4 cycles C 4 (533, ..., 608), C 4 (557, ..., 873), C 5 (494, ..., 904), C 6 (378, ..., 703). On peut donc affirmer:

Propriété 6: 754 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 8.

Pour k = 2, r = 10 on a p* = 5;  il y a ici exactement 5 attracteurs dont les points fixes (1, 853), et 3 cycles C 6 (735, ..., 991), C 7 (572, ..., 938), C 43  (139, ..., 1227) et on en déduit:

Propriété 7: le nombre premier  853 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 10.

Citons quelques autres nombres remarquables associés à k = 2 (qui font partie, comme 203, 754, 853, de l'ensemble des nombres qui sont égaux à la somme des carrés des chiffres d'une certaine et unique de leurs puissances). 

Propriété 7': 1882 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 16.

Propriété 7'': 760 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 19.

Propriété 7a: 1752 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 23.

Propriété 7a': 1330 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 26.

Propriété 7a'': 2057 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 27.

Propriété 7a''': 3572 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 32.

Propriété 7a'''': 3068 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 34.

Propriété 7b: 900 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 35.

Propriété 7c: 3622 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 36.

Propriété 7c': 3582 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 37.

Propriété 7c'': 3877 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 38.

Propriété 7d: 7249 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 62.

Propriété 7e: 6746 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 63.

Propriété 7f: 7978 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des carrés des chiffres de sa puissance 81.

(?) Pour k = 2, r = 205, on a p * = 6 ; on détermine assez facilement  le point fixe 1 et le cycle C 40 (15421, ..., 27044); ce cycle est probablement le seul attracteur non trivial (il serait alors  un cycle s -remarquable) mais la démonstration n'est pas encore obtenue.

Pour k = 5 et r = 2, on a  p * = 7 et en particulier les points fixes (38998, 45994, 89080) qui, nous le verrons plus loin, sont des nombres 2 - narcissiques d'ordre 5; il y a aussi le point fixe 128230 et des cycles C 5 , C 6 , C 31 , C 48 , C 119 .

Pour k = 7 et r = 3, on a p * = 10 et  en particulier les points fixes  (5540343, 8690141) qui seront appelés plus bas des nombres 3 - narcissiques d'ordre 7.

Cas particulier: k = 1 (on notera S 1 r par S r ).

Cette sous-classe de la précédente a en réalité était envisagée avant le cas plus général des S k r, à propos en particulier des propriétés du nombre 26 en liaison avec la conjecture de Catalan (voir  le cas de S 3 ). 

Pour r = 1, la transformation S 1 se réduit à T 1; pour r = 2 ou 3, il vient p* = 3 et l'intervalle de convergence est [0, 100[.

S 2 possède deux points fixes (1, 9) et un cycle d'ordre deux C 2 (13, 16) comme seuls attracteurs (na = 3). On peut donc affirmer le résultat suivant:

Propriété 8: 9 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des chiffres de son carré.

S 3  possède six points fixes (1, 8, 17, 18, 26, 27): ce sont les seuls nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube et parmi eux il y a en particulier le fameux nombre 26 (il est le seul nombre encadré par un carré et un cube, voir la conjecture de Catalan). S 3  possède aussi un cycle d'ordre deux C 2 (19, 28); les 6 points fixes précédents et ce cycle sont les seuls attracteurs de S (na = 7).

Pour r = 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., 27   il vient p* = 4 et l'intervalle de convergence est contenu dans [0, 1000[.

S 4  possède six  points fixes (1, 7, 22, 25, 28, 36) et un cycle C 2 (18, 27) (na = 7).

Nous verrons plus bas que 7, 8 et 9 sont r - narcissiques d'ordre 1 (avec respectivement r = 4, r = 3, r = 2).

S 5  possède cinq points fixes (1, 28, 35, 36, 46) et trois cycles C 2 (23, 29),  C 2 (31, 34), C 4 (25, 40, 7, 22) (na = 8).

S 6  possède seulement cinq points fixes (1, 18, 45, 54, 64) (na = 5).

S 7  possède neuf points fixes (1, 18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68) et cinq cycles C 2 (38, 47), C 2 (44, 62), C 2 (46, 55), C 2 (56, 65), C 4 (72, 36, 54, 63).

S 8 possède quatre points fixes (1, 46, 54, 63) et deux cycles C 2 (64, 73) et C 4 (70, 31, 52, 67).

S 9 possède quatre points fixes (1, 54, 71, 81) et trois cycles  C 4 (99, 90, 45,  72), C 3 (82, 73, 91), C 2 (80, 35).

Remarque 1: 54 est égal à la somme des chiffres de sa puissance 6, à la somme des chiffres de sa puissance 8 ainsi qu'à celle des chiffres de sa puissance 9.

S 10 possède 7 points fixes (1, 82, 85, 94, 97, 106, 117) et deux cycles C 3 (43, ...,70), C 6 (45, ...,99).

S 12 possède 2 points fixes (1, 108) et un cycle C 2 (109, 127). On peut donc affirmer le résultat suivant:

Propriété 9: 108 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des chiffres de sa puissance 12.

S 14 possède 6 points fixes (1, 91, 118, 127, 135, 154) et deux cycles C 2 (97, 130), C 2 (108, 117).

S 15  possède 8 points fixes (1, 107, 134, 136, 152, 154, 172, 199) et un cycle C 2 (144, 153).

Remarque 2: 154 est égal à la somme des chiffres de sa puissance 14 ainsi qu'à la somme des chiffres de sa puissance 15.

 S 19 possède 10 points fixes (1, 80, 90, 155, 157, 171, 173, 181, 189, 207) et 7 cycles C 2 (199, 235), C 2 (172, 208), C 2 (203, 221), C 3 (164, ..., 236), C 4 (98, ..., 224), C 5 (112, ..., 220), C 6 (178, 223).

S 20 possède 4 points fixes (1, 90, 181, 207) et 4 cycles C 2 (187, 193), C 2 (234, 252), C 3 (99, ..., 270), C 3 (199, ..., 226).

S 21 possède 4 points fixes (1, 90, 199, 225) et 3 cycles C 2 (188, 233), C 2 (127, 190), C 3 (181, ..., 235).

S 22 possède 8 points fixes (1, 90, 169, 193, 217, 225, 234, 256) et 3 cycles C 2 (148, 220), C 2 (238, 247), C 4 (214, ..., 268).

Pour r = 28 jusqu'à 127 on a p * = 5.

S 28 possède 7 points fixes (1, 90, 160, 265, 292, 301, 328) et 6 cycles d'ordre 2, un cycle d'ordre 3 et un d'ordre 5.

On peut donc en déduire le résultat suivant:

Propriété 10: 90 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des chiffres de sa puissance 19, à la somme des chiffres de sa puissance 20, à la somme des chiffres de sa puissance 21, ainsi qu'à la somme des chiffres de sa puissance 22 et à celle des chiffres de sa puissance 28.

S 50 possède  les  points fixes (1, 685) et des cycles C 2 C 3 C 4 C 6 C 7 et l'on a:

Propriété 11685 est le seul nombre strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des chiffres de sa puissance 50.

S 95 possède 5 points fixes (1, 820, 1323, 1351, 1385) et un cycle d'ordre3, deux d'ordre 4, deux d'ordre 5 et un d'ordre 12 ...

Une curiosité: S 103 possède plusieurs points fixes et cycles mais, en particulier, 2 paires de points fixes consécutifs (1476, 1477) et (1495, 1496).

S 105 possède  le  point fixe 1 et les 4 cycles C 3 (1476, ..., 1566), C 5 (989, ..., 1520), C 7 (1459, ..., 1567), C 11 (926, ..., 1610) (na = 5,  p* = 5).

Propriété 12: Il n'existe aucun nombre entier strictement plus grand que 1, qui soit égal à la somme des chiffres de sa puissance 105.  

Quelques investigations (inachevées)  pour des 'grands' r:

(?) S 3017 (on a ici p * = 7) possède comme attracteurs  le point fixe 1 et le cycle C 3 (65871, 64854, 65367) (notons que 65871 3017 possède 14539 chiffres) et on sait donc que na >=2...(mais na=2 n'est pas assuré).

(?) S 3705 (on a ici p * = 7) possède comme attracteurs le point  fixe 1 et le cycle C 11 (48393, ..., 82800) (82800 3705 possède 18222 chiffres) et on sait donc que na >=2...(mais na=2 n'est pas assuré).

(?) Les cycles précédents C 3 et C 11 seraient des candidats raisonnables pour le titre de  cycle s - remarquable.... 

 

Remarque 3: il existe de nombreux autres entiers qui (comme 54 et 154) sont points fixes d'au moins deux transformations S r distinctes: 18 (pour r = 3, 6, 7), 28 (4, 5), 36 (4, 5), 80 (17, 19), 106 (10, 13), 107 (11, 13), 108 (11, 12), 170 (31, 33), 181 (16, 18), 207 (19, 20), 305 (27, 29), 307 (26, 27), 360 (45, 49), 468 (38, 40), 495 (37, 40), ....

La transformation T 0 : elle associe à tout entier n > 0 le nombre de ses chiffres (en étendant naturellement la définition des T k à k = 0) et on appellera quelquefois T 0 (n),  l'ordre (ou même la 'longueur') de n.

A ce propos pour r = 1, si T 0 (n) = k,  il en résulte T k (n) < k 9 ;

pour r > 1, si T 0 (n) = k, il en résulte  r k - r + 1 < = T 0 (n r ) < r k et  T k (n r ) < = T 0 (n r ) 9 T 0 (n r).

Résultats en ce qui concerne les points fixes à k chiffres pour r > 1 et k < 8

Pour tout r < = 50 et pour k = 2 et k = 4, on peut vérifier qu'il n'existe pas de point fixe à k chiffres; toujours pour r < = 50 et pour k = 1, k = 3 et k = 5, on peut vérifier qu'il n'y a pas d'autres points fixes à k chiffres que respectivement  (7, 8, 9), (180, 205),  (38998, 45994, 89080). Pour k = 6, on peut vérifier qu'il n'existe pas de point fixe à k chiffres  pour  r < = 10; pour k = 7 avec  r < = 10,  il n'y a pas de points fixes à k chiffres en dehors de (5540343, 8690141) (associés à r = 3).

Nombres r-narcissiques parfaits d'ordre k (ou r - PPDI d'ordre k)

On connaît les nombres narcissiques parfaits ou  Nombres d'Amstrong ou PPDI : ce sont les points fixes à k (> = 1) chiffres des transformations T k qui associent à tout entier positif la somme des puissances k de tous ses chiffres. Le plus grand tel PPDI connu correspond à k = 39 (voir la Table des nombres d'Amstrong ).

Les transformations agréables S k r  permettent de définir une nouvelle classe de nombres narcissiques parfaits pour r >1.

Définition 3. Un point fixe à k chiffres d'une transformation S k r sera appelé nombre r - narcissique parfait d'ordre k (ou encore r - PPDI d'ordre k)

Un nombre r - narcissique parfait d'ordre k est donc un entier  n, à k chiffres, dont la puissance r est telle que la somme des puissances k de tous ses chiffres est égale à ce nombre n.

Un nombre 1 - narcissique parfait d'ordre k s'identifie à un PPDI d'ordre k. Comme dans le cas r = 1, pour tout r > 1 on ne considèrera que les cas non triviaux des entiers strictement supérieurs à 1.

Les propriétés et les résultats précédents permettent d'exhiber 10 nombres r - narcissiques d'ordres k = 1 à 7. On comparera avec la liste correspondante des 23 classiques PPDI d'ordres k = 1 à 7.

Pour k=1, tous les entiers de 2 à 9 sont des PPDI, mais seuls 7, 8 et 9 sont r - narcissiques (r > 1): 7 est 4 - narcissique, 8 est 3 - narcissique et 9 est 2 - narcissique (observer que n + r = 11 dans les 3 cas).

Pour k = 2, il n'y a pas de nombre r - narcissique quel que soit r.

Pour k = 3, on sait qu'il existe 4 entiers 1 - narcissiques (153, 370, 371, 407); il existe seulement 2 entiers r - narcissiques: 180 est 6 - narcissique d'ordre 3 et 205 est 2 - narcissique d'ordre 3.

Pour k = 4, on sait qu'il existe 3 entiers 1 - narcissiques (1634, 8208, 9474); il n'y a pas de nombre r - narcissique quel que soit r. 

Pour k = 5, on sait qu'il existe 3 entiers 1 - narcissiques (54748, 92727, 93084); il existe aussi trois entiers 38998, 45994 et 89080 qui sont 2 - narcissiques d'ordre 5.

Pour k = 7, on sait qu'il existe 4 entiers 1 - narcissiques (1741725, 4210818, 9800817, 9926315); il existe aussi 2 entiers 5540343, 8690141 qui sont 3 - narcissiques d'ordre 7.

On pourra noter n (r) un nombre r - narcissique.

On observera que si les transformations S k r , k > = 1, r > = 2, ont de nombreux points fixes à strictement plus de k chiffres, elles en ont assez peu d'exactement k chiffres...

 Les 10 premiers nombres r - narcissiques parfaits (r > = 2) plus grands que 1 (La valeur du r correspondant est notée entre parenthèses)

7 (4), 8 (3), 9 (2)

180 (6), 205 (2)

38998 (2), 45994 (2), 89080 (2)

5540343 (3), 8690141 (3)


Propriété A: les résultats précédents permettent d'affirmer que ces 10 entiers sont les seuls r - PPDI d'ordres strictement inférieurs à 8 (et qu'en particulier il n'existe pas de r -PPDI d'ordre k = 2, k = 4 et k = 6).

Parmi ces nombres seuls 9 et 205 représentent l'unique point fixe plus grand que 1 de la transformation correspondante (d'où le caractère remarquable de 9 et 205); pour les autres,  la transformation correspondante a au moins un autre point fixe (plus grand que 1) de strictement plus de k chiffres (par exemple S 5 2 a aussi le point fixe 128230 et S 3 6 a aussi le point fixe 3172). On notera aussi que seuls 7 (qui est en outre le seul nombre premier de la liste), 8 et 9 sont à la fois PPDI et r - PPDI.

Comme pour les PPDI, le caractère fini de l'ensemble des r - PPDI est assuré par les propriétés des transformations agréables.

Propriété B:  toutes les transformations S k r ayant un nombre fini d'attracteurs il y a un nombre fini de nombres r - narcissiques parfaits.

Le transformé par S k r du plus grand nombre à k chiffres étant majoré par (r k 9 k ), pour tout r 0 donné (> 1) on peut toujours calculer un k 0 = k 0 (r 0) tel que pour tout k > = k 0 et tout r < = r 0 il n'existe pas de nombre r - narcissique parfait d'ordre k. Par exemple il n'existe pas de r - PPDI d'ordre k pour (r = 2, k > = 69), pour (r < = 5, k > = 80), pour (r < = 14, k > = 90),...

Calculs en cours: pour  k = 6, on peut affirmer qu'il n'existe pas de r - PPDI  pour 1 < r < = 10 et pour k = 7 on a le même résultat négatif pour r = 2 et 3 < r < = 10 .

Questions ouvertes:existe-il des couples (k, r) tels que pour l'itération correspondante on ait na = 1, soit uniquement le point fixe 1 comme seul attracteur (nous 'conjecturons' qu'il n'en est rien) ou peut-on affirmer que pour tout couple (k, r) on a na(k, r) >1?

De la même façon qu'il existe des points fixes communs à plusieurs applications S k r (par exmple 54, 90, 154), existe-t-il des nombres n  plusieurs fois (ou multiplement)  r - narcissiques (points fixes pour deux valeurs de r différentes et le même k = T 0 (n))?

Nombres s - remarquables et cycles s - remarquables 

Existe-t-il des cas na = 2 pour r > 1?

Si (pour tout k > = 1 et tout r > = 1) l'on note npf(k, r) le nombre de points fixes de l'itération correspondante, on a toujours npf  > 0; les nombres que nous avons qualifiés de 'remarquables' sont (mis à part les nombres comme  54, 90, 154 qui sont remarquables en tant que points fixes communs à plusieurs transformation S k r ) des entiers strictement plus grand que 1 associés aux cas npf( k, r) = 2 (un seul point fixe autre que 1,  plus éventuellement un ou des cycles et donc na > = 2) comme par exemple 9, 108, 203, 205 ,...; si en outre on a  na = npf (= 2 donc), alors ce point fixe est 'doublement remarquable' car il est le seul attracteur de la transformation autre que 1 (pas de cas exhibé encore!). On peut aussi essayer d'exhiber des cas où npf = 1 et na = 2 (comme pour k = 2, r = 1 avec le cycle C 8 (4,... ,145)), c'est-à-dire des situations où le seul attracteur, autre que 1, est un cycle d'ordre au moins deux; cet unique cycle pourra lui aussi être qualifié de 'doublement remarquable'. Donnons une formulation un peu plus systématique à ces définitions et propriétés. 

Appelons donc  na (k, r) le nombre d'attracteurs de S k r  et npf (k, r) son nombre de points fixes. Pour tout (k, r), on a npf > = 1 et na > = 1, puisque 1 est toujours point fixe (et sans doute devrait-on pouvoir montrer que l'on a toujours na >=2 ...?). Les cas na = 2 semblent rares (nous pouvons simplement citer S 2 1 avec un cycle C 8  et probablement  S 2 205 avec un cycle C 40 ) et la règle majoritaire doit être na > = 3 ( S 1 2 , S 2 2 et S 2 6 pour na = 3) ... 

1) na > = 2, npf = 2: le second point fixe, noté f (> 1), sera dit remarquable:
Propriété R: pour un couple (k, r) tel que npf =2, na > = 2, le point fixe f (> 1) correspondant sera appelé nombre remarquable: il est le seul entier strictement supérieur à 1 qui soit égal à la somme des puissances k de sa puissance r (par ailleurs, la transformation peut posséder divers cycles).

Toutes les transformations S k r (k et r finis)  possédant un nombre fini d'attracteurs, il existe un nombre fini d'entiers remarquables; citons  (9, 108, 203, 205, 754, 760, 853, 900, 1330 , 1752, 1882, 2057, 3068, 3572, 3582, 36223877, 6746, 7249, 7978, 12277, ...).

 

Remarque: il existe des nombres premiers qui sont aussi des nombres remarquables

Observons que dans cette liste seuls 853, 3877 et 12277 sont des nombres premiers et ils sont en outre des nombres premiers cousins (chacun est le plus petit élément d'une paire de nombres premiers différents de 4: 853 et 857, 3877 et 3881, 12277 et 12281).

2) na = 2, npf = 2: le second point fixe, noté f (> 1), de ce cas sera dit s - remarquable  (s pour singleton puisque ce point fixe est le seul attracteur autre que 1) et on a:
Propriété PSR: pour un couple (k, r) tel que na = npf = 2, le point fixe f (> 1) sera appelé nombre s - remarquable: il est le seul entier strictement supérieur à 1 qui soit égal à la somme des puissances k de sa puissance r; il est par ailleurs, le seul attracteur  autre que 1, de la transformation.

Toutes les transformations S k r possédant un nombre fini d'attracteurs, il existe un nombre fini d'entiers s - remarquables (ce sont bien sûr aussi, a fortiori, des nombres remarquables). Pas d'exemple à citer pour le moment!

Existe-t-il de tels nombres s -remarquables?

3) na = 2, npf = 1: le second attracteur qui est un cycle d'ordre m (> 1), noté C m (f 1, ..., f m ), sera dit s - remarquable (ce cycle est le seul attracteur autre que 1) et on a:
Propriété CSR: pour un couple (k, r) tel que na = 2, npf = 1, le cycle correspondant C m (f 1, ..., f m ), m > 1,  sera appelé cycle s - remarquable: les {f i , (1 < = i < = m)} constituent le seul ensemble d'entiers qui se déduisent les uns des autres en faisant la somme des puissances k des chiffres du prédécesseur à la puissance r; il est par ailleurs, le seul attracteur  autre que 1, de la transformation.

Toutes les transformations S k r possédant un nombre fini d'attracteurs, il existe un nombre fini de cycles (d'ordre m > 1) s - remarquables; citons le cycle C 8 (4,..., 145) du cas (k =2, r = 1) associé aux nombres malheureux et  probablement le cycle C 40 (15421, ..., 27044) du cas (k = 2, r = 205). 

4)Dès que npf > 1, (na quelconque > = 2), s'il existe un point fixe f tel que T 0 (f) = k, alors f est un nombre r - narcissique parfait (ou r  - PPDI) d'ordre k.

Les entiers  9 et 205 sont à la fois r - PPDI (avec r  = 2 pour les deux) et remarquables ; ces remarquables r - PPDI sont les seuls points fixes strictement plus grand que 1 de leur transformation S k r associée, ayant en outre exactement k chiffres. (Par ailleurs pour 9, la transformation correspondante est telle que  na  = 3, et pour 205, elle est telle que na  = 7). 

Problème ouvert: existe-t-il des entiers r - PPDI qui soient aussi s - remarquables?

Remarque sur les antécédents.

Pour toutes les transformations S k r , tous les nombres appartenant à un attracteur (un cycle ou un point fixe) ont nécessairement au moins un antécédent; en revanche, dans l'intervalle de convergence [0, 10 p* -1 [, il existe beaucoup de nombres qui n'ont aucun antécédent dans cet intervalle. Par exemple pour k = 2, r = 2, on a p * = 4 et dans l'intervalle de convergence [0, 999], il y a seulement 247 nombres avec au moins un antécédent (le plus grand de ces nombres étant 362). Le nombre d'antécédent(s) peut être très supérieur à 1, en particulier pour les éléments d'un attracteur; pour notre cas particulier  précédent, on a par exemple  les éléments du cycle C 3 (126, 175, 74) qui ont respectivement 14, 18 et  8 antécédents cependant que les nombres 29 et 49 (qui n'appartiennent à aucun attracteur) en possèdent 7. 

 

Remarque en liaison avec les itérations de Syracuse.

La transformation associée à la conjecture de  Syracuse définie sous la forme

Sy: n --> n /2 si p est pair, (3 * n + 1) /2 si n est impair

possède le cycle C 2 (2, 1). 

Naturellement, si la conjecture était démontrée, la transformation Sy(n) serait agréable et le cycle C 2 serait s - remarquable ....

On peut considérer la transformation composée Sy o T1 :

 n -->  T 1 ( Sy(n) );

pour n tel que T 0 (n) = p, on a Sy (n) < 3.10 p et donc (ce transformé étant au plus un nombre à p+1 chiffres): T 1 ( Sy(n) ) < = (p + 1) 9 et il y a convergence dans [0, 10 2 [ ...et le seul attracteur est le cycle C 2 . Cette transformation (Sy o T 1) est donc agréable, que Sy le soit ou pas!

 


(*) En fait, pour déterminer tous les attracteurs autres que le point fixe trivial 1, il suffira de chercher la convergence de tous les entiers de [2, 10 p*-1 - 1] qui ont au moins un antécédent (un élément d'un attracteur devant avoir nécessairement au moins un antécédent); on pourra aussi exclure (avec quelque précaution)  les multiples de 10, puisque l'itéré de tout nombre de la forme {n 10 m , pour tout m > = 1} est le même que celui de n, pour tout couple donné de valeurs (k, r).

(?)  Il s'agit de résultat valable dans l'état actuel des recherches d'attracteurs: on n'a pour le moment pas déterminé d'autre attracteur que ceux indiqués dans ces situations, mais il pourrait en exister d'autre(s)... 

 


Pour faire des simulations en ligne avec les transformations S k r 

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