Les transformations agréables sur  N  

(des transformations associées aux  définitions des nombres heureux et malheureux et à celles des nombres narcissiques ou nombres de Armstrong; itérations correspondantes sur les entiers)

Ce fichier propose quelques remarques théoriques et pratiques sur les transformations agréables ainsi qu'une technique de calcul pour améliorer à la baisse les temps de calcul des points fixes et autres attracteurs des itérations associées. On y démontre par une méthode mixte (théorique et numérique) qu' il n'existe pas de nombre narcissique parfait d'ordre > 56.

S A Y R A C mars 2007

Mode dictionnaire contextuel

En théorie des nombres on appelle nombre narcissique (narcissistic number) ou pluperfect digital invariant (PPDI) ou encore nombre de Armstrong (de 1° espèce) ou nombre plus que parfait, un nombre qui dans une base donnée, est égal à la somme de tous ses propres chiffres à la puissance du nombre total p de ces chiffres (par exemple en base 10: 153 = 1³ + 5³ + 3³). C'est cette expression d'un nombre par des opérations sur ses seuls propres chiffres constitutifs qui a fait choisir le qualificatif de narcissique (en référence au mythe de Narcisse dans la mythologie grecque) à Joseph S. Madachy dans son livre (Mathematics on Vacation, Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966) où il a, en particulier, introduit ces entiers. Par ailleurs, souvent à titre de récréations sur les entiers, de nombreux autres nombres ont été qualifiés de narcissiques comme par exemple: 3025 = (30 + 25)²,  4913 = (4 + 9 +1 + 3)³, 4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵, mais aussi 145 = 1! + 4! +5!, et de façon générale tous les entiers qui peuvent s'exprimer par des opérations (quelconques et pas seulement des puissances) utilisant uniquement l'ensemble de ses chiffres comme encore: 456 = 4 (5! -6)  ou  3972 = 3 + (9 × 7)²  ou 6455 = (6⁴ - 5) 5 ou 24739 = 2⁴ + 7! + 3⁹ ou ...Aussi  préférons-nous parler de nombres narcissiques parfaits pour les entiers tels que 153, et de nombres narcissiques lorsque la puissance p n'est pas égale au nombre de chiffres de l'entier, comme pour 4913 par exemple. Les nombres narcissiques parfaits sont encore des points fixes des transformations agréables (définition 1). On verra facilement qu'il n'y a pas de nombres narcissiques parfaits pour p = 2, mais qu'en revanche la transformation agréable correspondante n' a que deux attracteurs (en dehors du point fixe trivial 0 commun à toutes nos transformations), le point fixe 1 et un cycle d'ordre 8, ce qui permet de distinguer dans N, les nombres heureux dont les itérés convergent vers 1 et les nombres malheureux dont les itérés convergent vers le cycle 8.

Nous ne nous intéressons ici qu'à la représentation des entiers en base 10. Les transformations sous-jacentes aux nombres heureux et malheureux  (cas de k = 2) ainsi qu'aux nombres narcissiques parfaits (p > = 1) se définissent facilement et possèdent des propriétés extrêmement agréables comme on pourra le voir facilement plus bas. 

Une telle transformation, que nous appellerons agréable, définit  encore un  système dynamique sur les entiers  dont nous chercherons les  attracteurs: il suffit pour cela d'envisager l'itération associée en construisant la suite n, n ₁ transformé de n par T _k , n ₂ lui-même transformé de n ₁ par T _k et ainsi de suite pour n ₃ , n ₄   ......

Remarque 1. On fait immédiatement deux remarques triviales qui seront utiles plus loin: le (ou les) chiffre(s) 0 dans n ne contribue(nt) pas dans n ₁ et surtout, le transformé n ₁ est indépendant de l'ordre des chiffres c _i dans l'expression de n.  

Les transformations T _k sont dites agréables parce que quel que soit l'entier initial n choisi, sa trajectoire dans l'itération (n, n ₁, n ₂ , n ₃ ,....) converge toujours vers un point fixe ou vers un cycle d'ordre fini de T _k (comme nous le démontrerons plus bas). Abusivement nous parlerons de convergence de T _k au lieu de convergence de son itération associée. 

Vous pouvez utiliser un  fichier qui permet de  tester la convergence des transformations agréables (et d'obtenir, quelquefois, soit un point fixe soit un cycle).

Notons s = T _k (n); comme n > = 10^p-1  et donc  s < = p 9^k , dès que l'on assure  10^p-1  > p 9^k  il vient  s < n .

Nous allons montrer que pour p >= k+2 la précédente inégalité est assurée.

Démontrons donc que : 

(1)  p >= k+2 entraîne  p 9^k   <  10^p-1  (pour tout p>=1 et tout k>=1)  

1) Pour p=k+2 l'inégalité s'écrit:  (2)  (k+2) 9^k < 10^k+1 

Elle est manifestement vraie pour k=1 ( 27 <100) ou pour k=2 (324 < 1000), supposons qu'elle le soit pour une valeur k quelconque et montrons qu'elle l'est alors pour k+1:

 (k+2) 9^k < 10^k+1  entraîne  (k+2) 9^k+1 + 9^k+1  < 9.10^k+1 + 9^k+1  < 9.10^k+1 + 10^k+1

soit  (k+3) 9^k+1 < 10^k+2    et, par récurrence,  l'inégalité (2) est donc vraie pour tout k.

Remarque 2. On déduit de (2) que tout n d'au plus k+1 chiffres a tous ses  itérés d'au plus k+1 chiffres, puisque:

à n < 10^k+1 correspond  T (n) < = (k+1) 9^k < (k+2) 9^k <  10^k+1 .

2) Pour p > k+2 il vient , puisque la suite 10^p-1 / p est croissante, 10^p-1 / p > 10^k+1 / (k +2) > 9^k  

Le résultat (1) est donc assuré.

Ainsi, dès que p >= k+2 le transformé de n est tel que s < 10^p-1 <= n , c'est-à-dire qu'il est strictement inférieur à n et qu'il a au plus p-1 chiffres. Par conséquent un nombre d'au moins k+2 chiffres ne peut pas être un point fixe de la transformation ou encore tout point fixe de T _k  a au plus k+1 chiffres.

Par ailleurs on peut aussi en déduire que tout point de cycle de T _k  a au plus k+1 chiffres. Supposons en effet qu'un entier n de p chiffres, avec p>= k+2, soit un point de cycle; il faudrait donc que par un certain nombre d'itérations  par T _k on revienne sur n. Or s₁ = T _k (n) <= p 9^k  < 10^p-1 <= n  et s₁ a au plus p-1 chiffres; de même s₂ = T _k (s₁ ) <= (p-1) 9^k  < 10^p-1- 9^k < n et il a lui aussi au plus p-1 chiffres; tous les itérés successifs de n sont donc strictement inférieurs à n qui ne peut donc être un point de cycle. En outre avec la remarque précédente, si un cycle possède un point de k+1 chiffres, tous ses itérés ont au plus k+1 chiffres. (On peut aussi considérer les diverses compostions de m transformations T _k et montrer qu'aucune  n'a de point fixe de plus de k+1 chiffres quel que soit m). Comme par ailleurs on vient de montrer que tout entier de plus de k+1 chiffres se transforme successivement par itération, en entiers strictement inférieurs à n  et qui perdent au moins un chiffre à chaque étape de l'itération d'éléments de plus de k+1 chiffres, on a encore montré que toute itération par T _k converge dans l'ensemble fini A _k = [0, 10^k+1 [ et qu'il existe dans cet ensemble au moins un point fixe ou un cycle d'ordre fini. Si l'on note n _i , i > = 1, les itérés de n par la transformation T _k , on peut dire que pour tout n dans N, tous les n _i sauf au plus un  nombre fini sont dans A _k, puisque dès qu'un de ces itérés a la plus petite valeur de plus de k+1 chiffres, tous les suivants sont dans A _k (et y restent). Si l'on note n(k+r) un nombre n d'au plus  k+r chiffres et n[k+r] un nombre n d'exactement k+r chiffres, dans l'itération par T _k  toutes les trajectoires sont de la forme: n[k+r], n(k+r-1), n(k+r-2),...., n(k+2), n(k+1), n(k+1), ....,n(k+1).

Il n'y a donc pas de points fixes, ni de points de cycle de (strictement) plus de k+1 chiffres pour toute transformation T _k ^.

Toutes nos transformations (avec k fini) sont donc partout convergentes dans N et possèdent chacune un nombre fini d'attracteurs (points fixes finis ou cycles d'ordre fini) d'où le qualificatif d'agréable ....

Pour T₁   il y a, comme seuls attracteurs, les 10 points fixes 0,1,..,9 qui sont les nombres narcissiques parfaits d'ordre un (avec une éventuelle restriction pour 0 ...suivant les auteurs) et aucun cycle.

Remarque 3. Utilisation de T ₁ : si l'on considère la transformation S:   n --> S ( n ) = T ₁  ( n ³ ), on observe qu'elle possède 6 points fixes (1, 8, 17, 18, 26, 27): ce sont les seuls nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube et parmi eux il y a en particulier le fameux nombre 26 (il est le seul nombre encadré par un carré et un cube, voir la conjecture de Catalan). On peut noter que S possède aussi un cycle d'ordre deux C ₂ (19, 28) et que les 6 points fixes précédents et ce cycle sont les seuls attracteurs de S qui est partout convergente dans N et qui peut donc être qualifiée aussi de transformation agréable... comme nos T _k .

Pour T₂  il y a, comme seuls attracteurs,  les points fixes 0, 1 et  le cycle d'ordre 8: (42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145). Il n'existe pas de nombre narcissique parfait d'ordre deux.

Pour T₃  il y a, comme seuls attracteurs, les 6 points fixes 0, 1, 153, 370, 371, 407 , 2 cycles d'ordre deux (136, 244) et (919, 1459) et  2 cycles d'ordre trois (55, 250, 133) et (160, 217, 352).  153, 370, 371, 407 sont les nombres narcissiques parfaits d'ordre trois.

Pour T₄  il y a, comme seuls attracteurs, 5 points fixes 0, 1, 1634, 8208, 9474 et deux cycles C₂ (2178, 6514) et C₇ (13139, ...,1138,  ...,9219); 1634, 8208, 9474 sont les nombres narcissiques parfaits d'ordre quatre.

Pour T₅  il y a 8 points fixes 0, 1, 4150, 4151, 54748, 92927, 93084, 194979 et des cycles C₁₀ C₁₂   C₂₂ ...; 54748, 92927, 93084 sont les nombres narcissiques parfaits d'ordre cinq.

Pour T₆  il y a 3 points fixes 0, 1, 548834 et des cycles C₃  C₁₀  C₃₀ ...;  548834 est le seul nombre narcissique parfait d'ordre 6.

...

On peut naturellement déterminer, comme indiqué plus haut, pour chaque T _k l'ensemble (fini) de tous ses attracteurs, mais dans ce fichier l'objectif est essentiellement les points fixes et plus particulièrement encore les points fixes d'ordre k.

Pour T ₃₉ il y a (en plus des points fixes triviaux 0 et 1) 2 points fixes qui sont les plus grands nombres narcissiques parfaits connus et qui sont donc d'ordre 39 :  m = 115132219018763992565095597973971522400 et  m+1.

Quelques grands cycles.

Ces résultats ne peuvent pas tous être vérifiés avec  le fichier testeur de convergence  qui s'exécute sur le site (nous avons limité volontairement l'ordre des cycles à 2000, le temps de calcul maximum de 30 secondes du serveur PHP ne permettant pas d'aller beaucoup plus loin); ils ont été obtenus avec un autre programme écrit en VB et traitant les entiers en tant que chaînes de caractères et  utilisant ses propres fonctions de calcul pour avoir la précision dite 'infinie' (un peu abusivement et en fait arbitraire seulement) pour les diverses opérations sur les grands entiers. Ce logiciel HEUREUX est proposé en téléchargement gratuit, ainsi d'ailleurs qu'un outil de CALCUL sur les grands entiers en précision arbitraire (au moins 50 chiffres après la virgule) pour les opérations élémentaires (+, -, *,  /, exponentielle et factorielle).

Nous avons par exemple les quelques cycles d'ordre assez grands suivants (dont nous donnons l'ordre, le nombre maximum de chiffres pour un élément et un de ses points qui permettra de trouver tous les autres)..

T ₄₀: un cycle d'ordre 1093 avec un maximum de 39 chiffres: 597906965016410043142439528769450434806

un cycle d'ordre 1221 avec un maximum de 40 chiffres: 892189029043556064885874066145854390233

un cycle d'ordre 1319 avec un maximum de 39 chiffres: 444768880862193970322435479916281370454

T ₃₈: un cycle d'ordre 1593 avec un maximum de 38 chiffres: 2015640159857257313802444394278188080

T ₄₃: un cycle d'ordre 1914 avec un maximum de 43 chiffres: 6871277287597990881338126653551157995

T ₃₆:  un cycle d'ordre 2815 avec un maximum de 36 chiffres: 136149277064831001357487927287441220

T ₇₅:  un cycle d'ordre 3163 avec un maximum de 73 chiffres: 5920408891448171920411382227490128800775690698979466584468959461678489401 

T ₈₁:  un cycle d'ordre 3466 avec un maximum de 79 chiffres: 3932668224486001168854064159311997639126922255214204489333849323548901658824153 

T ₃₉:  un cycle d'ordre 4356 avec un maximum de 39 chiffres: 33515581627585524471656464024510931370

T ₅₇: un cycle d'ordre 7340 avec un maximum de 56 chiffres: 36987497640029013033972548743322215456512268389441924387

Problèmes: pour k <61, toute transformation T _k a-t-elle toujours au moins un point fixe? et  combien de tels points fixes ont exactement k chiffres (nombres narcissiques parfaits)? Les plus grands de ces nombres actuellement connus, semble-t-il, sont les deux points fixes de T ₃₉  m  et  m+1 fournis plus haut. Y-a-t-il une démonstration pour affirmer qu'il n'y a pas de nombre narcissique au-delà de k = 39 ? 

Amélioration technique pour  l'étude des éventuels points fixes des T _k pour k > 39.

Pour T ₄₀ , on peut montrer qu'un nombre narcissique parfait d'ordre 40 devrait se représenter avec au moins 7 chiffres 9 puisque l'on peut vérifier que  9999999 est  le plus petit nombre dont le transformé par T ₄₀  possède 40 chiffres alors que le plus grand nombre de 40 chiffres avec seulement 6 chiffres 9 a un transformé de 39 chiffres... mais il manque encore 33 éléments pour compléter le puzzle de l'éventuel nouveau nombre narcissique parfait ! Pour T ₄₁ une remarque analogue permet d'affirmer qu'il faudrait au moins 8 chiffres 9 dans la représentation de l'éventuel candidat. On peut utiliser ce type de remarque associé à une autre propriété des transformations agréables pour considérablement diminuer les temps de calcul d'éventuels points fixes au-delà de k = 39 et en particulier pour améliorer légèrement la propriété 1 en ce qui concerne les nombres narcissiques parfaits. 

D'après la définition 1, le transformé T _k (n) a pour antécédent non seulement n  mais aussi tous les entiers qui ont les mêmes nombres de chiffres 9, 8, ..,1 que n, leur nombre de zéros éventuels étant en outre indifférent (par exemple 172, 271, 721, 7012, 10207,  ... ont le même transformé).

Ceci permet de représenter l'ensemble (ou la classe d'équivalence) de tous ces antécédents par la silhouette de n, Sil(n) =  (s ₉ , s ₈ , ..., s ₁) , les s _i étant le nombre de chiffres i ( i = 1, 2, .., 9) dans l'expression de n; on écrira ainsi:

 n ₁ = T _k  Sil(n)  (pour  ∑₁⁹  s _i  i ^k ).

Par exemple le nombre narcissique parfait  m a pour silhouette  Sil (m) = (7, 1, 4, 2, 6, 1, 3, 5, 6),  et en tant que point fixe il vérifie  m = T ₃₉ Sil(m). Ainsi tous les nombres narcissiques parfaits peuvent être définis par une suite ordonnée de 9 nombres sous la forme condensée n = T _k (s ₉ , s ₈ , ..., s ₁ ) , s _i étant le nombre de chiffres i ( i = 1, 2, .., 9) dans l'expression de n. On peut facilement calculer le s ₉  MINIMUM de toutes les transformations  de k = 40 jusqu' à k = 60; on observe que s ₉  est strictement croissant pour  k > = 40. Si s ₉  joue bien sûr un grand rôle, il n'empêche qu'il faut aussi considérer les autres s _i . Cependant, le nombre de silhouettes différentes des  nombres à p chiffres étant très largement inférieur à 10 ^p (par exemple il y a 6435 silhouettes différentes à 7 chiffres sans zéro, 12870 pour 8 chiffres, ...voir le tableau des silhouettes à 3 chiffres), la connaissance du minimum de  s ₉  et l'utilisation de cette  notion de silhouette permettent  de diminuer très notablement  le nombre de cas différents à tester numériquement pour chercher des points fixes. Voir par exemple la liste de toutes les silhouettes différentes de 1 à 4 chiffres (qui contient seulement 714 éléments parmi les 10000 premiers entiers). 

Pour le cas k = 60, on peut ainsi montrer que  s ₉ = 56 (sinon le transformé aurait au mieux 59 chiffres) et il ne reste que quatre chiffres à déterminer, ce que l'on peut facilement faire numériquement: en épuisant toutes les possibilités, qui se réduisent en fait à  moins de 500  . Nous avons pu ainsi conclure qu'il n'existe pas de nombre narcissique d'ordre 60 (ni d'ailleurs de point fixe pour T ₆₀). 

Pour le cas k = 59, on montre que s ₉ = 51 ce qui laisse  8 chiffres à balayer  pour épuiser toutes les possibilités de point fixe. Il suffira d'envisager les nombres n = T ₅₉ (51,0,..,0) + T ₅₉ Sil ₈ () où  Sil ₈ () représente toutes les silhouettes de nombres (sans zéro) de 1 à 8 chiffres (dans un ordre indifférent) ce qui fait  moins de 25000 cas (exactement 24309 et par exemple on peut calculer qu'il y a seulement 12870 silhouettes différentes à 8 chiffres sans zéro) ...Nous avons pu ainsi conclure qu'il n'existe pas de nombre narcissique d'ordre 59 (ni d'ailleurs de point fixe pour T ₅₉).  

Pour le cas k = 58, on obtient s ₉ = 46 ce qui laisse 12 chiffres à balayer, ce qui correspond à  moins de 300000 (exactement 293929) silhouettes différentes à envisager. Après un temps de calcul raisonnable, nous avons pu ainsi conclure qu'il n'existe pas de nombre narcissique d'ordre 58 (ni d'ailleurs de point fixe pour T ₅₈).  

Le cas k = 57, avec s ₉ = 41,  laisse 16 chiffres à balayer et correspond à un peu moins de 2.100.000 silhouettes différentes à envisager. Après un  temps de calcul un peu plus long, nous avons pu encore conclure qu'il n'existe pas de nombre narcissique d'ordre 57 (ni d'ailleurs de point fixe pour T ₅₇).    

On a donc légèrement amélioré la propriété 1 en 

Avec cette technique on peut probablement améliorer encore cette propriété sans utiliser un temps de calcul trop rédhibitoire, et peut-être trouver un nouveau nombre narcissique parfait ou confirmer que m+1 est bien le plus grand ....

Quelques références 

L'origine de la recherche systématique de ces divers nombres semble se trouver dans un livre de Martin Gardner : Gardner, Martin. The Incredible Dr. Matrix. New York: Charles Scribner's Sons, 1976.), dans lequel quelques questions ouvertes ( numbers called perfect digital invariants (or PDIs) and pluperfect digital invariants (PPDIs)) auraient intéressé Michael Jones qui en aurait discuté avec Lionel Deimeil d'où leurs diverses recherches sur ces sujets....avec l'écriture de nombreux programmes pour obtenir des tables de ces nombres... On trouvera les références de leurs nombreuses publications dans Journal of Recreational  Mathematics.

Nombres narcissiques

Nombres d'Armstrong (les 4 types)

Table des PPDI      

Le site de Lionel Deimeil

Tableau des s ₉ en fonction de l'ordre k (ce coefficient représente le nombre MINIMUM de chiffres 9 dans l'expression de l'éventuel nombre narcissique d'ordre k)

Les silhouettes à 3 chiffres

Compter en vue d'utiliser les transformations agréables fait intervenir uniquement des nombres sans zéro dont les représentants sont bien moins nombreux que ceux de la suite classique des tous les entiers. Par exemple, la liste de tous les entiers de 1 à 9999 à silhouettes différentes ne contient que 714 éléments.

Les premiers nombres narcissiques parfaits (de 1 à 10 chiffres)

Vers le fichier qui permet de tester la convergence des transformations agréables.

Tester un nombre: heureux ou malheureux ?.

Vers la page des calculs mathématiques en ligne sur le site.

Vers la page sur les systèmes dynamiques.

 De nouveaux nombres de type narcissique associés à d'autres transformations agréables avec  quelques explications dans  nombres remarquables et r - PPDI.

Mode d'emploi et téléchargement du calculateur sur les transformations agréables

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