Tous les nombres rationnels positifs peuvent bien sûr avoir une infinité de tels développements et les Mathématiques dans l'Egypte antique utilisaient de tels développements, avec des dénominateurs tous différents, pour exprimer tous les rationnels positifs et en particulier ceux strictement inférieurs à 1. Cette notation numérique à base de fractions unitaires a été utilisée aussi pendant la période grecque et même au Moyen Age.
Un premier objectif a bien sûr été de trouver le nombre minimal de fractions unitaires dans un développement égyptien ...
Ce logiciel se propose de trouver un ou plusieurs tels développements pour toute fraction irréductible n/d (mais même si votre fraction est réductible le logiciel se débrouillera) avec n et d entiers strictement positifs.
Il s'agit d'illustrer en particulier la conjecture de Erdös-Straus , énoncée en 1950, qui exprime que toute fraction irréductible de la forme 4/d avec d entier supérieur ou égal à 2 peut s'exprimer sous la forme d'une somme de 3 fractions unitaires: 4/d = 1/a + 1/b + 1/c .
On pourra aussi tester la conjecture de Sierpinski énoncée en 1956, concernant le même type de décomposition pour 5/d.
De manière plus générale on pourra envisager la décompositon de n/d pour divers n et d strictement positifs.
Ces résultats sont une tentative de généralisation de la banale décomposition 4/4 = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1/2 +1/2.
Voir une récente mise au point sur ces deux conjectures .
On utilisera pour cela d'une part l'algorithme de Fibonacci-Sylvester puis l'algorithme de Golomb et d'autre part une méthode directe constructive. Pour le premier algorithme, on soustrait de la fraction n/d la plus grande fraction unitaire possible et on répète l'opération jusqu'à ce que la nouvelle fraction obtenue soit unitaire et on obtient ainsi une décomposition en un nombre nécessairement fini de fractions unitaires (on peut montrer en effet facilement que les numérateurs successifs décroissent).
Cet algorithme a été donné sans démonstration par Leonardo Fibonacci en 1202 puis repris et démontré par James Sylvester en 1880. Il donnera toujours une seule décomposition en au moins 2 fractions unitaires (assez souvent 3, mais aussi 4, 5, 6 ...); le nombre de ces fractions dépendra du choix initial de n/d (et même si vous avez choisi n > d vous aurez en outre au moins une première fraction 1/1 ...). Celle en 2 sera facilement exprimable en 3 avec l'identité banale (qui serait due à Fibonacci ?) 1/b=1/(b+1)+1/b(b+1).
L'algorithme de S. W. Golomb utilise le théorème de Bachet-Bézout (pour une fraction n/d irréductible <1) qui affirme l'existence de deux entiers premiers entre eux r et s tels que r < s < d et ns = 1 + dr, d'où n / d = 1 / ds + r / s; on poursuit le processus récursif jusqu'à obtenir r = 1. On observera qu'avec Fibonacci-Sylvester on décomposera à partir de la plus grande fraction unitaire (puis décroissance) alors qu'avec Golomb c'est la plus petite d'abord et croissance ensuite.
Dans le deuxième type de démarche on écrit n/d=1/a+1/b+1/c et on cherche des triplets (a, b, c) solutions de l'équation; le logiciel propose pour n/d un (ou plusieurs) développement en somme d'exactement trois fractions unitaires, le nombre de solutions étant lié à la limite du temps de calcul autorisé sur le serveur utilisé (ici vous avez droit à 20 secondes) et au choix de l'intervalle dans lequel on cherche des a, b, c. Pour ces mêmes raisons il n'y aura pas toujours de résultat dans ce cas ...
Vous pouvez aller sur la version qui permet 60 secondes de calcul .
Le logiciel est plutôt adapté aux fractions irréductibles et strictement inférieures à 1 ... mais les autres choix ne sont pas interdits. Mais en général il vous donnera la décomposition de la fraction irréductible inférieure à 1 correspondant à vos valeurs de n et d.
Pour les décompositions de Fibonacci-Sylvester et Golomb vous pouvez choisir des n et d aussi grands que souhaité ...pour le calcul direct il faudra être beaucoup plus raisonnable...
Vous pourrez par exemple vérifier que 2/17 peut se décomposer de plusieurs manières différentes, que 17/18=1/2+1/3+1/9 ...que 4/23 a de nombreuses décompositions ...
Vous n'avez pas choisi de dénominateur !!
Recherche directe de solutions en 20 secondes de calcul avec exactement 3 fractions unitaires
Retour vers le choix de n et d
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