HEUREUX est une application, de type calculateur, qui effectue des itérations sur les entiers en
utilisant les transformations
agréables; ces transformations T k , k > = 1, associent
à un entier n , constitué de p chiffres c i , la somme des
puissances k de tous ses chiffres: n ---> T k (n) = ∑1p c i k .
Par
exemple T 2 (127) = 54 (1 2 + 2 2 + 7 2), T 3 (127) =
352 (1 3 + 2 3 + 7 3). Le cas
particulier k = 2, permet de classer les entiers en nombres
heureux et nombres malheureux suivant que l'itération par T 2 converge vers 1
ou non (elle converge alors vers le cycle d'ordre 8, C 8 constitué de 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,
145); par exemple 7 est un nombre heureux puisque son itération par T 2
produit la suite 49, 97, 130, 10, 1. T 2 possède uniquement
deux attracteurs, le point fixe 1 et le cycle C 8 . Les
transformations agréables étant l'extension naturelle de ce cas, nous avons
appelé 'heureux' le logiciel qui effectue des itérations par celles-ci.
Ces itérations par T k pour k quelconque permettent en outre de
déterminer des nombres narcissiques parfaits: ce sont les
points fixes
des itérations par T k ayant exactement k chiffres. Par exemple 153
est un tel nombre puisque nous avons T 3 (153) = 153; c'est le cas
aussi de tous les chiffres de 0 à 9 qui sont des points fixes de T 1
.On
connaît 88 nombres narcissiques parfaits encore appelés nombres d'Amstrong;
le plus grand de ces nombres correspond à k = 39 (et possède donc 39
chiffres) et on verra dans la page
sur les transformations
agréables comment démontrer
qu'il n'y a pas de nombre narcissique parfait pour k > 57.
L'installation de cette application écrite en Visual Basic 6.0 est simple et standard.
Elle se fait par un setupheureux.exe que
l'on peut enregistrer ou simplement exécuter dès le téléchargement.
L'exécution du setupheureux.exe installera le projet
(heureux) dans votre répertoire Program Files. Ce projet
se désinstalle TOTALEMENT de manière classique dans Ajout Suppression de Programmes.
L'entier de départ est à saisir dans la case 'Nombre p initial choisi:', la
transformation (agréable) T k est à définir par la case 'Puissance
k:'. Le bouton 'Transformé de p'
calcule T k (p) et l'inscrit à la place de p; plusieurs utilisations
successives de ce contrôle donnent la suite des itérés de p; le bouton 'Itération
de p (1000)' fournit la liste des 1000 itérés de p. Les boutons '50
itérés de:' et '100 itérés
de:' fournissent la liste correspondante des itérés du nombre choisi dans
la fenêtre d'édition contiguë à ces contrôles. Ces listes sont, bien sûr, stoppées dès que
l'on aboutit sur un point fixe.
Pour les recherches systématiques d'un cycle
ou d'un point fixe vers lequel converge l'itération issue du nombre p choisi, on utilisera l'un
des trois derniers boutons jaunes 'Recherche
de....'.
Les boutons mauves sont des liens vers des pages web avec
en particulier celui vers notre fichier sur les transformations agréables
qui donne de nombreuses explications et détails sur leurs itérations qui ont
la bonne propriété de toujours
converger vers un attracteur (point fixe ou cycle d'ordre fini), pour
tout p et tout k, ce que
nous trouvons bien ... agréable, d'où leur nom.
Les boutons 'Principe', 'Date et Heure', 'Quitter', 'Vider la ..' et les diverses 'Listes', 'Silhouettes'
ou 'Nombre de chiffres' ont des actions évidentes.
Le menu '?' donne, le 'A propos' standard, une 'Information' qui
s'affichera dans la grande fenêtre texte du logiciel Heureux, avec des
commentaires analogues aux précédents sur les contrôles essentiels et
l'accès direct à cette page.
Faites vos propres expériences avec différents p et k pour obtenir des nombres
heureux , des nombres narcissiques parfaits ou divers cycles de ces transformations
agréables .
Il suffit d'exécuter
le setupheureux.exe qui installera le projet (heureux) dans votre répertoire Program
Files. Ce projet
se désinstalle TOTALEMENT de manière classique dans Ajout Suppression de Programmes.
L'entier de départ est à saisir dans la case 'Nombre p initial choisi:', la
transformation (agréable) T k est à définir par la case 'Puissance
k:'. Le bouton 'Transformé de p'
calcule T k (p) et l'inscrit à la place de p; plusieurs utilisations
successives de ce contrôle donnent la suite des itérés de p; le bouton 'Itération
de p (1000)' fournit la liste des 1000 itérés de p. Les boutons '50
itérés de:' et '100 itérés
de:' fournissent la liste correspondante des itérés du nombre choisi dans
la fenêtre d'édition contiguë à ces contrôles. Ces listes sont, bien sûr, stoppées dès que
l'on aboutit sur un point fixe.
