SYSTEMES  DYNAMIQUES

            ET CHAOS  

S A Y R A C octobre 2006

Le XX° siècle aura été très riche en révolutions scientifiques importantes dans les sciences dites dures: la relativité restreinte et générale, la mécanique quantique, la théorie du chaos pour les systèmes dynamiques, sans parler du développement sur les cristaux liquides et de l'explosion de puissance des ordinateurs qui a naturellement largement favorisé en particulier l'étude des systèmes dynamiques.

Nous rassemblerons ici quelques notions, liens (en italique pour les liens internes à cette page et ceux  renvoyant à notre index  de rappels théoriques ou au glossaire en anglais) et références sur les Systèmes Dynamiques. De nombreux liens externes variés (articles scientifiques, historiques, simulations, sites personnels ou illustrations simples) permettront en outre au lecteur de sélectionner les pages ou les sites qui lui conviendront le mieux pour approfondir ses connaissances sur ce thème (et éventuellement quelques sujets voisins).

Allez directement vers le menu déroulant des définitions essentielles sur les systèmes dynamiques.

L'ensemble ne prétend naturellement ni à l'exhaustivité, ni à l'originalité  mais veut simplement fournir quelques idées et définitions élémentaires (avec le minimum de symboles mathématiques) sur ce vaste et très riche sujet, dont les pères fondateurs sont nombreux et variés (on pourrait  citer I. Newton, G. Leibniz et beaucoup d'autres mais c'est probablement H. Poincaré et A. Kolmogorov qu'il faut retenir), et qui s'est développé de manière fulgurante avec l'avènement des ordinateurs modernes puissants et l'introduction (dans les années 1970) des notions d'attracteur étrange et de chaos dans la théorie du chaos.

La théorie des systèmes dynamiques est sans doute directement issue du traitement du problème des trois corps en 1889 par Henri Poincaré (1854 - 1912) (voir les références sur le problème des trois corps dans oeuvres Tome 7); ce problème classique de mécanique céleste (manifestement essentiel en astronomie ainsi que le plus général problème à n corps) consiste à essayer de déterminer les trajectoires de trois corps mutuellement soumis à l' attraction gravitationnelle (de Newton; voir encore gravitation de Newton, gravitation d'Einstein et gravitation quantique) et on sait qu'en général, il n'est pas possible de le résoudre analytiquement, seules des solutions approchées peuvent être fournies et efficacement utilisées (bien qu'une solution analytique exacte ait été établie par Sundman en 1909, mais sous la forme d'une série infinie trop lentement convergente pour être pratiquement utilisable à des fins prédictives).  Signalons que dans le cadre de la mécanique de Newton, le problème à deux corps (ou problème de J. Kepler; voyez une simulation du problème de Kepler) est parfaitement intégrable et tous les étudiants de premier cycle savent fournir sa solution analytique (le même problème dans le cadre de la relativité générale de A. Einstein n'a pas de solution analytique exacte connue). A. Kolmogorov est à l'origine de la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) dont le théorème fondamental (dans les années 1954) exprime l'existence de tores invariants dans les systèmes hamiltoniens (soit encore la conservation des mouvements quasi périodiques par petite perturbation de la fonction de Hamilton H du système initial).

Vous pouvez d'abord  consulter quelques très brefs  rappels théoriques  (ou l' index correspondant) utiles aussi pour les systèmes différentiels traités par les logiciels téléchargeables (sur le fichier des téléchargements) Editequa ou SV5 .

Vous pouvez ensuite obtenir quelques éléments un peu plus généraux sur les systèmes différentiels autonomes dans R² et en particulier sur la classification de Poincaré des points singuliers (appelés aussi points fixes ou points d'équilibre ou encore solutions stationnaires ou simplement solutions) de ces systèmes d'équations différentielles.

Pour envisager des situations bien précises mais plus techniques, vous pouvez encore consulter les références des articles de l'auteur sur des systèmes dynamiques de type équations différentielles mais aussi de type itérations dans R ou R².

Vous pouvez enfin voir de très belles simulations proposées par des applets java sur les systèmes dynamiques et quelques images d'attracteurs ou de fractales et attracteurs sur quelque-uns des nombreux sites sur ces sujets.

Nous allons donner une succession de définitions essentielles (surlignées en jaune) plus ou moins imbriquées pour aboutir à quelques exemples d'attracteurs étranges et de bifurcations fondamentales, phénomènes caractéristiques de la théorie des systèmes dynamiques (quelques définitions techniques utilisant des symboles mathématiques sont repoussées à la fin du texte).

Vous pouvez aussi aller directement vers:

Classification de Poincaré des points fixes

Il s'agit de distinguer ces points fixes  (fixed point) par la nature des valeurs propres (eigenvalues) du système linéarisé associé au système différentiel initial en ce point. Il y a le col (saddle point), le noeud (node) qui peut être stable ou instable, le foyer stable (sink), le foyer  instable (source) et enfin le centre entouré d'une infinité d'orbites périodiques (periodic orbit) et spécifique des systèmes conservatifs ; au voisinage de chacun de ces points, dans l'espace des phases (phase space) du système, le portrait de phase  (phase portrait) des trajectoires du système a une allure spécifique précisée en particulier par le nombre et la nature des ensembles invariants (invariant set). Par exemple pour un col (non dégénéré) il y a une variété stable (stable manifold) et une variété instable (unstable manifold) issues de ce point, aucune des autres trajectoires n'atteignant ce col. Cette classification précédente, précisée pour les systèmes différentiels dans R², a son analogue dans Rⁿ ainsi que pour les systèmes dynamiques discrets représentés par une itération  dans Rⁿ.

Systèmes Dynamiques

Le mouvement d'un quelconque pendule (du pendule simple au pendule de Froude, en passant par l'oscillateur de Van Der Pol), celui d'une fusée Ariane, le comportement vibratoire d'une aile d'avion, mais aussi l'évolution d'un portefeuille d'actions ou la gestion financière d'un ménage constituent des systèmes dynamiques; la conjecture de Syracuse peut elle aussi être associée à des systèmes dynamiques dans l'ensemble des entiers: les itérations de Syracuse. De nombreux problèmes en astrophysique, en biologie ou dans la dynamique des populations définissent aussi des systèmes dynamiques....tout comme des processus vitaux comme par exemple le phénomène de production des plaquettes sanguines dans un corps humain.

EFFET PAPILLON ou sensibilité aux conditions initiales

Tout un chacun connaît l'effet papillon, la métaphore introduite dans les années 1960 par le météorologue E. Lorenz père d'un des premiers attracteurs étranges: un battement d'ailes de papillon à l'autre bout du monde peut être la cause d'une tempête ici, ce qui exprime que dans des systèmes dynamiques non linéaires, une modification  infime des conditions initiales peut entraîner des évolutions imprévisibles sur le long terme: il s'agit de la sensibilité aux conditions initiales des systèmes d'équations concernés déjà pressentie par H. Poincaré dans ses réflexions (voir par exemple la présentation au colloque Henri Poincaré et les sciences physiques 2004). Les notions de stabilité sont essentielles pour apprécier le comportement asymptotique (le paramètre évolutif t tend vers l'infini) des solutions. 

Stabilité

Précisons que dans la classification de Poincaré précédente des systèmes différentiels de R², les noeuds ou foyers sont asymptotiquement stables ou instables, alors que le centre est seulement stable.

Donnons simplement la notion intuitive de stabilité (qui est assez proche de la définition technique de la stabilité au sens de Lyapunov): une position d'équilibre d'un système (par exemple d'un pendule) sera dite stable lorsque de petites perturbations de cet équilibre (obtenues en écartant légèrement, et de façon quelconque, le système de sa position d'équilibre et en lui communiquant des vitesses arbitraires mais petites) définissent des mouvements dans lesquels les valeurs des paramètres (positions et vitesses) restent voisines de celles qui donnaient l'équilibre, les différences étant aussi petites que l'étaient les perturbations.

Attracteur

Attracteur étrange

Chaos

Théorie du chaos

Bifurcation

Exemple simple de bifurcation: considérons l'équation algébrique à un paramètre réel a, x (a - x²) = 0; il est facile de voir que pour a ≤ 0  il y a la seule solution x = 0, alors que pour a strictement positif, il y a deux autres solutions x = +√a et x = -√a. On dit que 0 est une valeur de bifurcation pour le paramètre a; à la traversée de la valeur 0 pour ce paramètre a, on a une bifurcation qui fait passer d'une solution à trois solutions pour l'équation: cette bifurcation est appelée bifurcation fourche (pitchfork bifurcation). La même analyse est encore valable pour le système dynamique dx/dt = x (a -x²) , en cherchant l'ensemble de ses solutions stationnaires (x = constante) suivant les valeurs du paramètre a. L'espace des phases d'un tel système est R; le diagramme de bifurcation dans l'espace R² (a en abscisse, x en ordonnée) fait apparaître la fourche décrivant les 3 courbes représentant les solutions stationnaires du système: à la traversée de a = 0, la solution stable x = 0 devient instable et il apparaît deux nouvelles solutions stables x = +√a et x = -√a.

Les systèmes dynamiques peuvent posséder, pour leurs diverses solutions (stationnaires ou autres comme par exemple les cycles limites ), des bifurcations fourches mais aussi de nombreuses autres comme la bifurcation de Poincaré - Hopf (ou Hopf bifurcation), la bifurcation noeud - col (ou saddle-node bifurcation), la bifurcation transcritique ou échange de stabilité (transcritical bifurcation), la bifurcation flip ou doublement de période (period doubling bifurcation) spécifique des systèmes définis par une application (itérations), ou la bifurcation d'Andronov - Léontovich pour une boucle col (ou saddle loop bifurcation). 

Une bifurcation topologique ou catastrophe est une perte ou un changement de stabilité structurelle du système dynamique qui concerne non pas une solution particulière mais l'ensemble de toutes les trajectoires du système...(voir la théorie des catastrophes de R. Thom).

Quelques exemples célèbres des premiers attracteurs étranges

L'attracteur de E. Lorenz signe, en 1963, les débuts de la météorologie moderne: c'est en se posant la question de savoir comment prévoir le temps à l'avance que E. Lorenz a abouti à son système différentiel et à son attracteur étrange. Il s'agit de modéliser certains mouvements atmosphériques: on considère pour cela  le mouvement d'un fluide entre deux plaques horizontales portées à des températures légèrement différentes (la plaque la plus chaude en bas). Pour une différence de température suffisante, il apparaît alors des tourbillons convectifs qui vérifient les équations de la convection de Rayleigh - Bénard dont la formulation est classique en mécanique des fluides: on obtient un système de trois équations aux dérivées partielles. Avec quelques hypothèses simplificatrices, on peut associer à ce système aux dérivées partielles un système différentiel ordinaire de la forme(a, b, c étant des paramètres réels, b décrivant la différence des températures des deux plaques):

dx/dt =a(y –x)
dy/dt = bx -y - xz
dz/dt = xy – cz

(on observera que les seconds membres de ces équations sont assez simples mais cependant non linéaires). On effectue une résolution numérique de ces équations: pour b supérieur à une certaine valeur critique, on obtient un comportement chaotique pour les trajectoires de ce système (l'attracteur étrange de Lorenz); simulez une vue en 3 dimensions de l'attracteur de E. Lorenz. Historiquement, c'est en voulant vérifier ses calculs que Lorenz s'est aperçu que des conditions initiales voisines pouvaient aboutir à des résultats assez différents (sensibilité aux conditions initiales) et qu'il a mis ainsi en évidence le comportement chaotique de son modèle.

L'attracteur de O. Rossler (1974) issu de travaux en cinétique chimique, correspond lui aussi à une formulation dans le cadre de la mécanique des fluides; il est associé au système différentiel (a, b, c étant des paramètres réels): 

dx/dt = -y – z
dy/dt = x + ay
dz/dt = b + xz – cz

(même remarque sur la forme simple mais non linéaire des seconds membres des équations). Pour certaines valeurs des paramètres la résolution numérique du système fait apparaître un comportement chaotique des trajectoires dans l'espace des phases (l'attracteur étrange de Rossler).

Si les deux systèmes dynamiques précédents étaient formés d'équations différentielles ordinaires  dans R³ (le paramètre évolutif étant donc le réel t représentant le temps) résultant en fait d'une troncature et simplification d'équations aux dérivées partielles de type Navier-Stokes, les systèmes suivants sont associés à des applications de R dans R ou de R² dans R², qui définissent en fait des systèmes dynamiques discrets (le paramètre évolutif est un entier) de type itération  dans R ou R².

L'attracteur de M. Hénon  (1976), associé à une  application R² --> R² de la forme (x, y) --> (X=a-x² +by, Y=x), est initialement issu d'un problème d'astronomie concernant les amas globulaires. Le système différentiel  initial (système de Hénon - Heiles) est un système hamiltonien non intégrable; il est traité par la méthode des surfaces de section de Poincaré pour lui associer une application du plan dans lui-même dont l'étude plus abordable permet d'analyser le problème initial et ici de décrire son comportement chaotique par l'attracteur de Hénon. Ce procédé d'analyse d'un système différentiel non intégrable (et c'est le cas le plus souvent !) par une  méthode de section est assez courant; bien que le système itératif associé soit lui aussi non linéaire, son analyse est souvent plus facile à développer. 

La logistic map introduite par le biologiste R. May en 1976, est une application R --> R de la forme  x --> X=ax(1-x); sous son aspect mathématique elle est directement issue de l'application de J. Myrberg (1962): x--> X=x² + p, sous son aspect de modèle évolutif  il semblerait qu'elle soit issue du 'logistic demographic model' de P. F. Verhulst (1838) et d'études qui ont suivi sur la dynamique des populations... On observera le diagramme de bifurcation de la logistic map et son comportement chaotique caractérisé par la cascade de Feigenbaum et son phénomène de doublement de période (bifurcation flip) qui réalise la transition vers le chaos.

Signalons un théorème fondamental établi en 1906 par S. Lattes pour les applications analytiques T de  R² dans R² qui fournit une méthode constructive locale de deux courbes analytiques invariantes au voisinage d'un point fixe (ou d'un point de cycle, un cycle étant un ensemble de points fixes de Tⁿ) et qui est à l'origine de nombreux travaux ultérieurs sur les systèmes dynamiques.

D'autres exemples: entrez attracteur étrange sur un quelconque moteur de recherche et choisissez .... De nombreux sites proposent en effet des illustrations de divers attracteurs étranges, avec animations possibles,  ou des logiciels permettant de construire soi-même (ou de faire évoluer) un attracteur étrange par la traitement  numérique d'un modèle de système dynamique.

Ensembles de Julia et fractales

Les ensembles de G. Julia sont associés aux applications du plan complexe C dans C: z --> f(z), c'est-à-dire donc à des systèmes dynamiques discrets dans C, ou itération  dans C. On peut par exemple considérer le cas: z _n+1= z²_n + c. En fixant le paramètre complexe c et en faisant varier le point initial z ₀ on construit un sous-ensemble du plan complexe C qui est l' ensemble de Julia. Ces travaux ont  initialisé les fractales de B. Mandelbrot, obtenues, pour le même exemple précédent, en fixant z ₀ et en faisant varier c: la notion de fractale a été définie par B. Mandelbrot en 1974. Admirez une galerie d'objets fractals variés et voyez comment construire des fractales.

Un bon aperçu historique et bibliographique sur  systèmes dynamiques et chaos permet de suivre l'évolution de cette discipline abordée tant par les mathématiciens que par les physiciens depuis le premier article de celui que nous considérons comme l'un des techniciens précurseurs, J. Myrberg (Sur l'itération des polynômes réels quadratiques, Journal de Mathématiques pures et appliquées (9), 41, pp. 339-351, 1962). Ce dernier article faisait suite et référence aux travaux très antérieurs (1918-1920) de G. Julia et P. Fatou qui ont élaboré la théorie générale de l'itération des fractions rationnelles; c'est l'exemple le plus simple d'un système itératif non linéaire et c'est le nom historique originel que l'on devrait attribuer à la 'logistic map'.

La théorie du chaos est maintenant devenue une discipline à part entière aussi bien pour les mathématiciens que pour les physiciens mais aussi pour les chimistes et les biologistes et de nombreux travaux ne cessent de se développer sur tel ou tel système dynamique dans des domaines très variés et pratiquement dans presque toutes les sciences. On peut noter par exemple:

Systèmes dynamiques complexes et réseaux de neurones ou processus cognitifs,

Systèmes dynamiques et applications en planétologie et économie,

Systèmes dynamiques classiques et quantiques,

Systèmes dynamiques relativistes dans l'espace-temps d'Aristote.

Citons enfin pour terminer Déterminisme, hasard, chaos, liberté. Henri Poincaré et la révolution des idées scientifiques au vingtième siècle  et  la dernière phrase de l'initiateur de la théorie du chaos:

« Le savant n’étudie pas la nature parce que c’est utile, il l’étudie parce qu’il y prend plaisir et il y prend plaisir parce qu’elle est belle.

            Si la nature n’était pas belle elle ne vaudrait pas la peine d’être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d’être vécue ». (Henri Poincaré, Science et méthode, 1908).

Quelques définitions techniques (avec éventuellement quelques symboles mathématiques).

Itération

(x_n  , y_n  ) ----->  (x_n+1  = f (x_n  , y_n  ), y_n+1 = g (x_n  , y_n ) )  où  n∈N joue le rôle d'un temps discret.

Systèmes dynamiques dans l'ensemble des entiers

Quelques propriétés des nombres permettent de définir sur l'ensemble des entiers des systèmes dynamiques discrets. Nous avons déjà évoqué la conjecture de Syracuse et les diverses transformations qu'elle permet de définir pour décrire des itérations sur les entiers. En fait, toutes les propriétés ou définitions sur les entiers qui permettent de les classer en au moins deux sous-ensembles peuvent permettre de définir par une certaine itération un système dynamique discret, certes plus ou moins intéressant (ou caractéristique ou générique devrions-nous dire). A titre de jeu sur les nombres, nous avons rappelé la classification nombres heureux et nombres malheureux et illustré l'extension aux transformations qui associent un entier et la somme des puissances p de tous ses chiffres constitutifs (p = 2 pour la classification heureux-malheureux). Nous appelons ces transformations des transformations agréables; elles permettent aussi de générer les nombres narcissiques parfaits (qui sont certains de leurs points fixes).  Elles définissent  des systèmes dynamiques avec points fixes et cycles variés suivant tel ou tel paramètre (p ou encore la base utilisée pour définir l'entier comme dans happy numbers) qui ont l'agréable propriété de toujours converger. Vous pouvez tester la convergence de tels systèmes dynamiques (pour des nombres de grande taille et des valeurs de p jusqu'à 40). On peut certainement donner quelques autres illustrations de ce type ...

Petite perturbation d'une fonction

Stabilité structurelle

 dX/dt = f(X) , X∈Rⁿ 

est structurellement stable si son portrait de phase n'est pas modifié, à une équivalence topologique près (une modification quantitative est possible mais pas une qualitative), par une petite perturbation de f(X).

Systèmes conservatifs, systèmes dissipatifs

Un système hamiltonien est en général (chaque fois que sa fonction de Hamilton H ne dépend pas explicitement du temps t) conservatif.

Système conservatif type:

d²x/dt² + ω₀² x = 0  oscillateur harmonique  ou pendule simple sans frottement

Système dissipatif type:

d²x/dt² + α dx/dt + ω₀² x = 0  pendule simple avec frottement (non hamiltonien)

ou encore 

I d²θ/dt² + h dθ/dt + mgl sin θ = F(Ω - dθ/dt) pendule de Froude (pendule simple avec frottement dont le point d'attache O est remplacé par un arbre en rotation de vitesse angulaire Ω , la fonction F représentant le moment de la force de frottement en O),

et

d²x/dt² - μ (1 + b₁ x - b₂ x² + ...) dx/dt +  x = 0  oscillateur général de Van Der Pol.

Attention: 

le pendule de longueur variable d²x/dt² + ω²(t) x = 0  n'est ni conservatif, ni dissipatif. 

Anecdote (pseudo) linguistique (sur la richesse de la terminologie concernant les systèmes dynamiques): il était une fois un scientifique francophone qui introduisit, dans un de ses articles, la définition d'un nouveau point singulier qu'il appela un col. Quelques temps plus tard un anglophone, prenant connaissance avec intérêt de l'article en question, voulut utiliser ce terme dans sa langue maternelle et le traduisit (correctement) par saddle. Encore quelques temps plus tard un francophone lisant l'anglais dans le texte découvre l'article traitant de saddle et, conquis par ce nouveau point singulier, se décide à traduire le terme pour ses malheureux compatriotes qui ne lisent pas Shakespeare dans le texte, et il propose point-selle...(ou comment la boucle n'est pas bouclée). L'histoire ne dit pas ce que pensa ce francophone polyglotte à la lecture quelques années plus tard d'un (rare?) article en français traitant de col ...sans allusion aucune à son  point-selle; mais peut-être qu'il s'agit là d'un non évènement puisque chacun sait que presque tous les bons articles sont écrits en anglais et qu'un scientifique sérieux ne lit (et ne rédige) que ces derniers?

La plupart des mots en italique de cette page ont leur équivalent anglais (et une définition) dans le glossaire pour les systèmes dynamiques du Laboratory of Biological Modeling. Les liens en italique sont internes à cette page ou renvoient à nos rappels théoriques ou à ce glossaire, les autres sont externes.

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