CALCULATEUR de la PERSISTANCE MULTIPLICATIVE d'un ENTIER
( Mise à jour septembre 2020: On utilise la bibliothèque bcmath et les nombres sont traités en tant que chaînes de caractères comme on l'avait fait, en particulier, pour les
grandes factorielles et les Palindromes et nombres de Lychrel . Vous pouvez tester un entier 'aussi grand que vous voulez' et vous ne serez soumis au 'Fatal error' du serveur que si vous dépassez les 20 secondes d'exécution pour le calcul ...Pour aller encore plus loin et bénéficier de 60 secondes de calcul )
Il s'agit d'illustrer la notion de persistance numérique multiplicative ,
dans la version standard aussi bien que dans la variante Erdös.
Pour déterminer la persistance multiplicative d'un entier n, on lui associe le résultat de la multiplication de tous ses chiffres entre eux que l'on notera M(n). Cette application M (on dira que M(n) est le multant de n) sera de nouveau utilisée sur le résultat et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un point fixe de l'itération sous la forme d'un nombre à un seul chiffre. La persistance multiplicative de n est le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre un point fixe.
Naturellement (par construction) dès qu'un entier possède au moins un 0 parmi ses chiffres son multant est nul. Il est conjecturé, depuis N.Sloane en 1973, qu'en base 10, la persistance multiplicative n'est jamais strictement supérieure à 11.
La variante proposée par Paul Erdös consiste à ne pas tenir compte du chiffre 0 dans la multiplication et donc l'application M est remplacée par M* qui ne considère que les chiffres non nuls. Dans ce cas, la persistance multiplicative peut dépasser 11 (elle est toujours au moins égale à la persistance standard), et on conjecture encore qu'il existe un maximum. De manière générale il est conjecturé que pour toute base b il existe un maximum fini autant pour la version classique que pour la version Erdös...
On observera que le plus petit entier en base 10 de persistance maximum 11 est 277777788888899 (le plus petit premier de persistance 11 étant 277777788888989).
On remarquera aussi que n = 3(1)7(27)8(622)9(399) (3 suivi de 7 répété 27 fois, 8 622 fois et 9 399 fois) dont le multant est
574779817804390904890286981578964902781742714480320102678593558479177180582606355263905759684722351577904879247007053974584208744001683336359195814522257396582927450017759678139720092317593733121971548881593674829563639377365298522834542493377570399998139939997206867358132738209223116041773016336986393741009927170577275675516663119149156228199482628326795805605312859951078492366250880322089839944278485593967559483726298470729579638656671875978230497021973201423578244054142219544517517323730416132555518599958484932098350355976621826733775403353089175239106643656216106760961306951699339732730932329296161823783063407785293611090217664324462726977118668779311130064512708621524267150762503281355753486157669279028423101647557295097183503597630687186194628637661562365592379177125730665243432740056266434025929842174673602217195744165721547122876094729663369401715352412452489940215312319347759504339884598957640155052631453987231074795542859487259944471949737984 possède une persistance Erdös qui vaut 17.
Quant à 219370 =
89333841820614470873988363301273861643514374879177546057283198163346366889704413653705874914563410354235055432787366840739053919455933807564064896804979147342640412948711003280536585319103728288221765891898156817466481991654449061533193360954710675104273926605480942123741829342005781009714161613406556400058840215433855513945292723265993396997448868314777574620785877116894801026610668913628444019507102999480306070751049960859305311503867211816385840413923856686497209697470781232640385012898134257528759102782304927469791299673724928939803164734347964456565603588451401307847166594511011514279398833304597144339308120999170167689314114739401545233589896330247035198786888130927445273838796887577175675013722090798461418090125101864282140103790139020950445038418784363545474258394074720957904652517723142083630497394140832726718914750923506691372108736874354087863301924051481805444136134154257643849114198614859939986749031777594691814899116104720028287291639199521237804375739255401419935287693402408051512977274551429862969300692599678677733543453651692708461989929199705124132338155097264444399093354895979818340325122944305236893731855897063817954081374122062847586574403923149892303598991906053464335860551408875479383815986858967471835959471790837957312340539974085891373365772188604625781266574099580182799205226652880061327494727579530920031896428219427401838202256781223017054658861789894947197364866803639655392647080832653924854543223085618679077598283461208550411035653087792266785918049033557044226730200666933728671324113705088523882710322381619412509534037405361495712066994505326025084423922013856364520041840283626590044697018500724350029567940387532621917411481222524630650400060570552474971818121882083365908621839792739954634360931082126284896882119268718596306458920117717454240660460910199745201946970500383116667925104572786673821039981874471227934622765440738263959260843205775785273382204794300164524207422301996615145033857913659620405598329461894493777719954999592244990071101416730073156335444694637822182450517204385723166436475879669792741537296677023960319332671138595732327797745044589190743996639940538246204265964573052821954830650150454021507806911322315887620529119982392558759124793960312759425175154350627341678593141457892574463637854335145468632283496669787330104733832925871589539715337862664096560658029501081982324155662960713480174663053862787753247285652126717864098277732943710493257941876721674503214545096966427082456440790571107576303643945561751784632024096313354549890883913111075143808188682699502393409827930406242229962315091467129299655059991556137882843598537844745819948765225848856708021539680200015954959620773582952562619849324842919088046301196955660772628692809212055136712934779070952954718678453663673205968324438704543491354078337496406358347472063296748160630233022635719609628470805076980265621728706199292419547109957298904487827441518136171519445569267628259517034366795248465051062357678778242256860249781598629081683726230681327024574574694098986259635331589356405363212500440356015106179927461864390233496983328089570810783402821615707298594201665210218082681341067467164474067714065746926317156639116797094130791102189507350279189127745912825389006643004304122143572693343462031673496503263520779472050790224811416248424441972350626336076302366290456914587177130077326919521273611277622871602208103748835385892567925131545817289598746682796222295381535739247119827692482647212787315058500169872690052775488764022552879155818383112066908268899025962539059572022514450992861780655509926238487382558286791685099920905799352404000211415253335011965372086954100363184427233005376968988958165140628683665142576509151900273037576260692512202614766624683564887231631005765640571380570269376774023360514056520121344774790075252474287257547343742225763158522150801545956805441453258127206700189674435948076670180024739571926900391349275849091955523992017155067731992416153459236900862205941127661524463214172278917064549871867673813807538934217628905875127896548448140553017502735075973059586844499311106427407460638486229836156546571629159161894731406789550552077890827646929831037073756353260629472593922318090981733296888227924054092820981626128714293584927763028131932915883978147572648549718480457302128132956889613372652086425169454108714823798324678290938302405710598753508803254866139125340508967057713771273546525424014358241248938777009236977537245373152629474817645379842345746166220987113473709616064787800235935250374324760039122513485490326819264875655711203447520188613855188056455318532825996929893505958963545038810356000814417501201239192770871522769106007560925952065492199923690954115474742131190398617691605221399779803273946646808977121215741861833286397906096271657013369770645973584039345101061301419429922418204368388992605190397993484637760066945877506390764905327670969003047501717840522963351329975560336432727203494557686944827783968421905609225207259145583874918972300130626117133362408402538482470999001138538554010193563796720826158414444220848014468835540000638372732903043594543824566694016315265643063575826653844674479214303248138670483843179590936380921659700280167693412612922785819948414626399791349978300470689762112878720846836815740818288172119776873002676848399391356197841062921190663457449204008980885560140402271599341843486829339534013235426529421460041870361613113196076744419736561561301805266292692084401645909932261849250790210249054844837267563584456650915666200352392970974805426589362838850329806686837107786484220809659923042099732833681398828720489976743008463174596551247118233189521402106629960051793252212487423667157988688301234448307017545396848789302840502444811306822330346342253920317516385091691930804939047307716640789043128627844670208242885160234168907215552908179449256450474735503627585715175424
il a une persistance Erdös de 18 (et une persistance standard de 1).
