DECOMPOSITION d'un entier positif en SOMME de CUBES d'entiers positifs

L'histoire des recherches sur la décomposition d'un entier en somme de cubes (et plus généralement en sommes de puissances k-ièmes) commence en 1770 avec Edward Waring (1736-1798).
Il a proposé le problème général suivant: pour tout entier k, existe-t-il un nombre s tel que tout entier positif n soit la somme de s puissances k-ièmes d'entiers positifs ? Pour chaque k, c'est le plus petit s vérifiant cette propriété qui est interessant; il sera noté g(k).
Ce problème de Waring a reçu une réponse positive en 1909 par David Hilbert sous la forme du théorème de Hilbert-Waring qui établit l'existence de g(k).
Nous nous intéressons ici à  g(3), mais on peut citer aussi g(4) = 19 et g(2) = 4 qui illustre le théorème de Lagange .
A.Wieferich en 1909 et A. Kempner en 1912 ont établi que g(3) = 9.
En 1939 L. E. Dickson a montré que, à  l'exception des nombres premiers 23 et 239, tout entier se décompose en une somme d'au plus 8 cubes, c'est-à-dire que g(3) = 8.
En 1939 H. Davenport a montré que presque tous les entiers naturels peuvent s'écrire comme une somme de quatre cubes .
En 1943 Yu. V. Linnik a montré que tout entier suffisamment grand est décomposable en une somme d'au plus 7 cubes.
En 1966 V. A. Demjanenko a démontré que tout entier RELATIF qui n'est congru ni à 4 ni à 5 modulo 9, est la somme de 4 cubes d'entiers RELATIFS.
Plus récemment en 2016, dans Algebra and number theory , S. Siksek établit que tout entier supérieur à 454 est une somme d'au plus 7 cubes.

Pour des décompositions en 2, 3 ou 4 cubes nous avons proposé de petits logiciels en ligne qui illustrent quelques résultats possibles correspondants.
Tout entier égal à 3, 4, 5 ou 6 modulo 9 (3 + 9p, 4 + 9p, 5 + 9p ou 6 + 9p) n'est pas une somme de 2 cubes .
On peut démontrer qu'il existe une infinité de nombres qui ne sont pas une somme de trois cubes (tous ceux égaux à  4 ou 5 modulo 9 ), mais on peut aussi démontrer qu'il existe une infinité de nombres qui s'expriment comme une somme de trois cubes (pour tout n, on a n3 + 2 = n3 + 1 + 1).
On pourra tester les résultats de Davenport et de Demjanenko pour une somme de 4 cubes avec par exemple 93, 129, 282, 745, 5248, 61823 ...

LES OUTILS EN LIGNE PROPOSES pour tester quelques décompositions en SOMME de CUBES:
Décomposition en somme de deux cubes .
Décomposition en somme de trois cubes .
Décomposition en somme de quatre cubes .

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