Le problème qui consiste à savoir si un nombre peut s'écrire comme la somme de trois cubes positifs date des années 1770 et fait partie du problème de Waring .
L'étude plus générale concernait l'éventuelle écriture d'un nombre sous la forme d'une somme de plusieurs cubes positifs.
Dans les années 1909-1912, on a montré que tout entier peut s'écrire comme une somme d'au plus 9 cubes , en 1939 on a montré que, tout entier différent de 23 et 239, peut s'exprimer en une somme d'au plus 8 cubes; ce résultat a été ramené à 7 cubes en 1943 ...
On peut démontrer qu'il existe une infinité de nombres qui ne sont pas une somme de trois cubes ( tous ceux égaux à 4 ou 5 modulo 9 ), mais on peut aussi démontrer qu'il existe une infinité de nombres qui s'expriment comme une somme de trois cubes (pour tout n, on a n³+2=n³+1+1).
Citons encore la conjecture de Hardy-Littlewood : il existe une infinité de nombres premiers qui s'écrivent comme la somme de trois cubes.
Les nombres de Amstrong ou nombres narcissiques à 3 chiffres sont en particulier des sommes des trois cubes de leurs trois chiffres.