Il s'agit d'illustrer (partiellement) le problème des 4 cubes qui consiste à se demander si tout entier relatif est, ou non, la somme de 4 cubes d'entiers relatifs; la conjecture que ceci est vrai est encore ouverte ...
L'étude concernant l'éventuelle écriture d'un nombre sous la forme d'une somme de plusieurs cubes positifs date des années 1770 et fait partie du problème de Waring .
Dans les années 1909-1912, on a montré que tout entier peut s'écrire comme une somme d'au plus 9 cubes , en 1939 on a montré que, tout entier différent de 23 et 239, peut s'exprimer en une somme d'au plus 8 cubes; ce résultat a été ramené à 7 cubes en 1943 ... En 1939, Davenport a montré que presque tous les entiers naturels peuvent s'écrire comme une somme de quatre cubes ...
Demjanenko a démontré en 1966, que tout entier RELATIF qui n'est congru ni à 4 ni à 5 modulo 9, est la somme de 4 cubes d'entiers RELATIFS.
Nous nous limitons cependant ici au problème associé aux seuls entiers POSITIFS, en proposant toujours la liste des solutions avec des cubes positifs ou éventuellement nuls.