Il s'agit d'illustrer le problème qui consiste à se demander si un nombre est, ou non, la somme
de 2 cubes d'entiers.
L'étude concernant l'éventuelle écriture d'un nombre sous la forme d'une somme de plusieurs cubes positifs date des années 1770 et fait partie du
problème de Waring .
Dans les années 1909-1912, on a montré que tout entier peut s'écrire comme une somme d'au plus 9 cubes, en 1939 on a montré que, tout entier différent de 23 et 239, peut
s'exprimer en une somme d'au plus 8 cubes; ce résultat a été ramené à 7 cubes en 1943 ...
On peut affirmer (en remarquant qu'un cube est toujours égal à 0, 1 ou 8 modulo 9):
Tout entier égal à 3, 4, 5 ou 6 modulo 9 ( 3 + 9p, 4 + 9p, 5 + 9p ou 6 + 9p ) n'est pas une somme de 2 cubes.
Remarquons que 1729, appelé le nombre de Hardy-Ramanujan , est le plus petit entier naturel s'écrivant de deux manières différentes comme somme
de deux cubes non nuls: 1729 = 93 + 103 = 1 + 123; on l'appelle le nombre taxicab
d'ordre 2 (il est aussi le produit du nombre premier 19 par son inverse 91).
On peut aussi observer que, conformément au théorème de Fermat-Wiles , aucun cube positif n'est une somme de deux cubes non nuls.
Il existe 9 nombres inférieurs à 100 qui sont décomposables en somme de deux cubes (91 est le plus grand).
Dans les décompositions fournies nous incluons celles avec éventuellement un cube nul (27 donnera 27 + 0).