Jeux sur les NOMBRES et la LOGIQUE du site SAYRAC

                                          Mode dictionnaire contextuel                   

Un JEU sur les NOMBRES

TROUVER UN NOMBRE COMPRIS ENTRE 0 ET 999

et tapez votre nombre choisi dans la case ESSAI
Nombre d'essai(s) :
ESSAI:

Meilleur scoreur :









La plus grande galaxie de notre groupe local, la   nébuleuse d'ANDROMEDE :
(c'est la galaxie la plus proche de nous, mais tout de même située à environ 2,5 millions d'années lumière, sachant qu'une année lumière correspond à environ 1013 km.!!).









JEUX sur les suites logiques de NOMBRES

Quelques suites logiques à compléter ...de J1 à J4 c'est assez facile, pour les autres c'est plus difficile...

               solution

6, 21, 24, 84, 861, ? , 2454, ...        Quel est votre choix?
Résultat:

               solution
2, 4, 5, 6, 4, 3, ? , 4, 4, ...        Quel est votre choix?
Résultat:

               solution

3, 3, 5, 4, 4, 3, ?, 5, 4, ...        Quel est votre choix?
Résultat:

 

                 solution       

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, ?         Quel est votre choix?
Résultat:

                solution

7, 36, 18, 9, 46, 23, ?         Quel est votre choix?
Résultat:

 

                solution

5, 125, 134, 92, 737, 713, ?         Quel est votre choix?
Résultat:

 

               solution

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28,  ?         Quel est votre choix?
Résultat:

              solution

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, ?         Quel est votre choix?
Résultat:

 

               solution

1, 8, 17, 18, ? , 27        Quel est votre choix?
Résultat:

 

               solution

7, 8, 9,  ? , 205        Quel est votre choix?
Résultat:

 

 

 

 

 

 

SUDOKU

Si vous préférez un jeu de logique avec des symboles, et en particulier avec des nombres, vous pouvez jouer au sudoku sur le site.

Dans le fichier Sudoku , chaque semaine une nouvelle grille du site assistant-sudoku de Robert Mauriès vous est proposée. Vous pourrez la résoudre en utilisant sa technique des pistes . Sur son site, vous pourrez même acheter son livre qui développe en détails avec de nombreux exemples sa méthode de résolution.

SIMULER la CONJECTURE de SYRACUSE

Le processus itératif de la conjecture de Syracuse  se construit de la manière suivante.
  • Choisir un nombre entier initial.
  • Si le nombre est pair, on le divise par 2 et on obtient un nouveau nombre (premier itéré).
  • Si le nombre est impair, on le multiplie par 3, on ajoute 1 au résultat et on obtient un nouveau nombre (premier itéré).
  • On recommence la procédure avec le nouveau nombre obtenu pour construire le deuxième itéré et ainsi de suite.
On obtient dans cette itération une suite de nombres qui est quelquefois appelée le vol du nombre de départ, les itérés successifs de cette suite  sont encore appelés les étapes du vol, l'itéré maximum obtenu dans la suite est appelé l'altitude maximale du vol et le nombre d'étapes pour obtenir 1 est appelé la durée du vol. On obtient dans cette itération une suite de nombres qui est quelquefois appelée le vol du nombre de départ, les itérés successifs de cette suite  sont encore appelés les étapes du vol, l'itéré maximum obtenu dans la suite est appelé l'altitude maximale du vol et le nombre d'étapes pour obtenir 1 est appelé la durée du vol.


La conjecture  affirme que dans cet algorithme de Syracuse:
 
On finit toujours par aboutir sur 1 dans la suite obtenue  quel que soit le nombre initial ....

Essayez et visualisez le processus itératif!

Nombre initial :
Itérés successifs :
Itéré maximum :
Nombre d'étapes :

  
Si ce problème vous intéresse, vous trouverez aussi sur le site un calculateur à télécharger pour étudier non seulement les itérations de Syracuse, mais aussi toutes celles où l'on multiplie par k (et pas nécessairement par 3) et où l'on ajoute p (et pas nécessairement 1): vous verrez qu'il y a souvent des cycles mais que la convergence vers 1 est assez rare ....et qu'elle n'assure pas toujours la convergence de l'itération. Vous trouverez aussi quelques références sur ces sujets dans la page sur la notion de conjecture.

 

 

 

 

 

SIMULER une autre ITERATION

                                                      Le facteur 3 de Syracuse devient ici k=5

Essayons de considérer une autre règle du jeu itératif: en remplaçant par exemple le facteur 3 du cas de Syracuse par le facteur 5:

  • Choisir un nombre entier initial.
  • Si le nombre est pair, on le divise par 2 et on obtient un nouveau nombre (premier itéré).
  • Si le nombre est impair, on le multiplie par 5, on ajoute 1 au résultat et on obtient un nouveau nombre (premier itéré).
  • On recommence la procédure avec le nouveau nombre obtenu pour construire le deuxième itéré et ainsi de suite.
On obtient dans cette itération une suite de nombres qui ne possède plus du tout les propriétés de l'itération de Syracuse.

 

On aboutit très rarement sur 1 dans la suite obtenue quel que soit le nombre initial ....et la plupart des fois il y aura divergence du processus (les itérés deviennent des nombres de plus en plus grands)!

Essayez et visualisez le nouveau processus itératif!

Comme il s'agit simplement de comparer avec le cas de Syracuse, nous effectuons seulement 3000 itérations au plus ...patientez cependant un peu, car vous le verrez les itérés successifs sont le plus souvent de plus en plus grands (le nombre d'étapes ne s'affichera que si l'on atteint 1). Quelquefois cependant, vous verrez apparaître un cycle dans les itérés successifs (par exemple un cycle d'ordre 10 si vous partez de 5, 17, 43 ou ...; un cycle d'ordre 7 passant par 1, si vous partez d'une puissance de 2,..).

Nombre initial :
Itérés successifs :
Itéré maximum :
Nombre d'étapes (si l'on aboutit à 1) :

  
Si ce problème vous intéresse, vous trouverez aussi sur le site un calculateur à télécharger pour étudier non seulement les itérations de Syracuse, mais aussi toutes celles où l'on multiplie par k (et pas nécessairement par 3) et où l'on ajoute p (et pas nécessairement 1): vous verrez qu'il y a souvent des cycles mais que la convergence vers 1 est assez rare ....et qu'elle n'assure pas toujours la convergence de l'itération. Vous trouverez aussi quelques références sur ces sujets dans la page sur la notion de conjecture.

Nombres heureux, nombres malheureux et extensions

Savoir si un nombre N est heureux ou malheureux (réponse immédiate).

Déterminer si un nombre N est heureux ou malheureux en simulant son itération par la transformation qui associe à N la somme des carrés de tous ses chiffres.

Extensions avec p strictement supérieur à deux:

Simuler une itération par la transformation qui associe à N la somme des puissances p (=3, 4, 5,..) de ses chiffres (vous choisissez le nombre initial et la puissance p).

Définissez un système dynamique sur l'ensemble des entiers et testez sa convergence en déterminant  les points fixes et les cycles (jusqu'à l'ordre 2000) de telles transformations pour de grands nombres et des puissances p jusqu'à 40.

Nous appelons toutes ces transformations des transformations agréables; elles génèrent aussi en particulier les nombres narcissiques parfaits et possèdent l'agréable propriété de toujours converger vers un point fixe ou un cycle d'ordre fini que vous pouvez essayer de déterminer en ligne avec le testeur de convergence précédent.

Si ces problèmes vous intéressent, vous pourrez aussi télécharger sur le site le logiciel heureux qui permet d'effectuer toutes itérations par ces transformations agréables.

Si vous voulez manipuler des grands nombres (et choisir la précision de vos calculs pour les divisions) vous pourrez télécharger calcul, la calculatrice pour les grands nombres à précision arbitraire (elle effectue les opérations élémentaires +, -, *, /, exponentielle et factorielle).

 

 

L'algorithme de KAPREKAR

La transformation associée à cet algorithme est une application de l'ensemble des nombres à p (donné supérieur ou égal à 2) chiffres dans lui-même. Elle est de type suivant: un entier n (valeur initiale à p chiffres) étant choisi, on ordonne ses chiffres pour lui associer  le plus grand nombre M et le plus petit m; le transformé K( n) de n est alors la différence M - m. L'itération de ce processus converge toujours nécessairement vers un point fixe (ce sera 0 si les p chiffres de n sont identiques) ou un  cycle (constitués de nombres uniquement à p chiffres, seul le point fixe pouvant être 0); cette transformation K, toujours convergente, est aussi une transformation agréable

Par exemple si n = 192, M = 921, m = 129 et K (n) = 792; la convergence a lieu, comme pour tous les nombres à 3 chiffres distincts vers le point fixe 495.

Testez en ligne la convergence de la transformation associée à l'algorithme de Kaprekar

 

A VOIR: un site de problèmes et d'énigmes mathématiques, en particulier sur les nombres, nommé DIOPHANTE en hommage au mathématicien grec.

La page calculs mathématiques en ligne

Calculateur de Syracuse, mode d'emploi 

Si vous préférez la musique classique allez sur le jeu des 10 questions  (des listes de 10 questions sont tirées au hasard: qui a composé la symphonie pastorale, la sonate au clair de lune, don juan ou la messe en si ...).

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