Mode dictionnaire contextuel
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Quelques suites logiques à compléter ...de J1 à J4 c'est assez facile, pour les autres c'est plus difficile...
Si vous préférez un jeu de logique avec des symboles, et en particulier avec des nombres, vous pouvez jouer au sudoku sur le site.
Dans le fichier Sudoku , chaque semaine une nouvelle grille du site assistant-sudoku de Robert Mauriès vous est proposée. Vous pourrez la résoudre en utilisant sa technique des pistes . Sur son site, vous pourrez même acheter son livre qui développe en détails avec de nombreux exemples sa méthode de résolution.
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| On finit toujours par aboutir sur 1 dans la suite obtenue quel que soit le nombre initial .... |
| Si ce problème vous intéresse, vous trouverez aussi sur le site un calculateur à télécharger pour étudier non seulement les itérations de Syracuse, mais aussi toutes celles où l'on multiplie par k (et pas nécessairement par 3) et où l'on ajoute p (et pas nécessairement 1): vous verrez qu'il y a souvent des cycles mais que la convergence vers 1 est assez rare ....et qu'elle n'assure pas toujours la convergence de l'itération. Vous trouverez aussi quelques références sur ces sujets dans la page sur la notion de conjecture. |
Le facteur 3 de Syracuse devient ici k=5
Essayons de considérer une autre règle du jeu itératif: en remplaçant par exemple le facteur 3 du cas de Syracuse par le facteur 5:
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| On aboutit très rarement sur 1 dans la suite obtenue quel que soit le nombre initial ....et la plupart des fois il y aura divergence du processus (les itérés deviennent des nombres de plus en plus grands)! |
Comme il s'agit simplement de comparer avec le cas de Syracuse, nous effectuons seulement 3000 itérations au plus ...patientez cependant un peu, car vous le verrez les itérés successifs sont le plus souvent de plus en plus grands (le nombre d'étapes ne s'affichera que si l'on atteint 1). Quelquefois cependant, vous verrez apparaître un cycle dans les itérés successifs (par exemple un cycle d'ordre 10 si vous partez de 5, 17, 43 ou ...; un cycle d'ordre 7 passant par 1, si vous partez d'une puissance de 2,..).
| Si ce problème vous intéresse, vous trouverez aussi sur le site un calculateur à télécharger pour étudier non seulement les itérations de Syracuse, mais aussi toutes celles où l'on multiplie par k (et pas nécessairement par 3) et où l'on ajoute p (et pas nécessairement 1): vous verrez qu'il y a souvent des cycles mais que la convergence vers 1 est assez rare ....et qu'elle n'assure pas toujours la convergence de l'itération. Vous trouverez aussi quelques références sur ces sujets dans la page sur la notion de conjecture. |
Nombres heureux, nombres malheureux et extensions Savoir si un nombre N est heureux ou malheureux (réponse immédiate). Déterminer si un nombre N est heureux ou malheureux en simulant son itération par la transformation qui associe à N la somme des carrés de tous ses chiffres. Extensions avec p strictement supérieur à deux: Simuler une itération par la transformation qui associe à N la somme des puissances p (=3, 4, 5,..) de ses chiffres (vous choisissez le nombre initial et la puissance p). Définissez un système dynamique sur l'ensemble des entiers et testez sa convergence en déterminant les points fixes et les cycles (jusqu'à l'ordre 2000) de telles transformations pour de grands nombres et des puissances p jusqu'à 40. Nous appelons toutes ces transformations des transformations agréables; elles génèrent aussi en particulier les nombres narcissiques parfaits et possèdent l'agréable propriété de toujours converger vers un point fixe ou un cycle d'ordre fini que vous pouvez essayer de déterminer en ligne avec le testeur de convergence précédent. Si ces problèmes vous intéressent, vous pourrez aussi télécharger sur le site le logiciel heureux qui permet d'effectuer toutes itérations par ces transformations agréables. Si vous voulez manipuler des grands nombres (et choisir la précision de vos calculs pour les divisions) vous pourrez télécharger calcul, la calculatrice pour les grands nombres à précision arbitraire (elle effectue les opérations élémentaires +, -, *, /, exponentielle et factorielle).
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| L'algorithme
de KAPREKAR
La transformation associée à cet algorithme est une application de l'ensemble des nombres à p (donné supérieur ou égal à 2) chiffres dans lui-même. Elle est de type suivant: un entier n (valeur initiale à p chiffres) étant choisi, on ordonne ses chiffres pour lui associer le plus grand nombre M et le plus petit m; le transformé K( n) de n est alors la différence M - m. L'itération de ce processus converge toujours nécessairement vers un point fixe (ce sera 0 si les p chiffres de n sont identiques) ou un cycle (constitués de nombres uniquement à p chiffres, seul le point fixe pouvant être 0); cette transformation K, toujours convergente, est aussi une transformation agréable. Par exemple si n = 192, M = 921, m = 129 et K (n) = 792; la convergence a lieu, comme pour tous les nombres à 3 chiffres distincts vers le point fixe 495. Testez en ligne la convergence de la transformation associée à l'algorithme de Kaprekar
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A VOIR: un site de problèmes et d'énigmes mathématiques, en particulier sur les nombres, nommé DIOPHANTE en hommage au mathématicien grec.
La page calculs mathématiques en ligne
Calculateur de Syracuse, mode d'emploi
Si vous préférez la musique classique allez sur le jeu des 10 questions (des listes de 10 questions sont tirées au hasard: qui a composé la symphonie pastorale, la sonate au clair de lune, don juan ou la messe en si ...).
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