Il s'agit d'illustrer le théorème des deux carrés de Fermat démontré par Pierre de FERMAT (1601-1665) en 1640,
et qui s'exprime par:
Théorème 1- Un entier naturel est la somme de deux carrés si, et seulement si, chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3
intervient à une puissance paire.
Par exemple 245 = 72.5 est somme de deux carrés mais pas 35 = 7.5. L'entier 49 = 72 est la somme 49 + 0; les possibles décompositions comportant le carré de 0 expriment que l'entier choisi est un carré parfait.
Théorème 2- Un nombre premier impair (donc à partir de 3) est somme de deux carrés si, et seulement si, il est congru à 1 modulo 4, et il y a alors unicité de la décomposition.
Par exemple 97 = 42 + 92, alors que 47 (comme tous les premiers de la forme 3 + 4 k) n'est pas la somme deux carrés.
Nous n'envisageons ici que des carrés d'entiers positifs; en acceptant des carrés d'entiers relatifs nous aurons 4 fois plus de décompositions ...
On parle encore du théorème de Noël de Fermat , car Fermat l'a envoyé à Mersenne le 25 décembre 1640 dans une longue lettre.
