Théorème - Un entier naturel est somme de trois carrés si, et seulement si, il n'est pas de la forme
4 j (8 k + 7) avec j et k entiers positifs ou nuls.
Si 7, 28 ou 60 ne sont pas décomposables, un carré parfait s'écrira toujours a2 + 0 + 0, et une somme de deux carrés, sous la forme
a2+ b2 + 0, comme par exemple 32 = 16 + 16 + 0 . Dans les compositions listées, nous donnerons toutes les sommes de 3 carrés comportant au moins un carré non nul.